ベクトルの内積で加法定理を証明【高校数学】

ベクトルの内積を使ってcos(α－β)=cos(α)cos(β)＋sin(α)sin(β)を証明します。

※この証明はやや不十分です。もやもやする方はぜひ最後まで読んでください。

ちなみにこれは僕が高校生の頃、入浴中にひらめいたやつです。

（なので僕以外の方もこの証明を記事にしておられますが、それらのパクリとかではないです（ですがなにか問題があればコメントをお願いします））

さて、上の証明でいくつか議論すべき点があります

(1)αとβの大小関係

上の議論で「β≦α」という制約を設けましたが、実は不要です。実際、α<βの場合→OAと→OBのなす角はβ-αですが、cos(β-α)=cos(-(β-α))=cos(α-β)となります。(こんなことしなくても加法定理の右辺を見れば明らかなのですが…)

(2)α-β>πとなる場合

この場合→OAと→OBのなす角はα-βではなく2π-α+βになります。ですがこのときもcos(2π-α-β)=cos(α-β-2π)=cos(α-β)となり加法定理が導かれます。

(3)循環論法ではないのか？

内積は余弦定理から導かれ、余弦定理の証明には加法定理を使わないため、循環論法にはならなりません。