群論入門part9.1 内部同型

※part9の続きです
※誤植、間違いがあれば教えてください

※以降、群論入門part0~9までの内容は既知であるとして話を進めます

9.3.内部同型

定義１
群Gに対し、GからGへの同型写像をGの内部同型という。また、Gの内部同型全体の集合をAutGと書く。

命題１
AutGは写像の合成◦に関して群をなす。

証明
（◦は閉じた演算）
φ,ψ∈AutGに対し、φ◦ψ：G→Gは全単射な準同型となるためφ◦ψ∈AutGが成り立つ。すなわち写像の合成◦はAutGについて閉じた演算である。
（結合法則）
g∈Gとφ,ψ,μ∈AutGに対し、((φ◦ψ)◦μ)(g)=φ(ψ(μ(g)))=(φ◦(ψ◦μ))(g)となるため(φ◦ψ)◦μ=φ◦(ψ◦μ)が成り立つ。
（単位元、逆元の存在）
恒等写像id：G→GはAutGの単位元である。また、φ∈AutGの逆元はφの逆写像φ⁻¹である（逆写像の定義と同型写像の逆写像も同型写像であることから明らか）▢

Rem
AutGを自己同型群とよぶ。

命題２
群Gとh∈Gに対し、iₕ：G→G：g↦hgh⁻¹は自己同型である。

証明
写像iₕが同型写像であることを示せばよい。
（準同型）
g₁,g₂∈Gに対し、iₕ(g₁g₂)=hg₁g₂h⁻¹=hg₁h⁻¹hg₂h⁻¹=iₕ(g₁)iₕ(g₂)であるからiₕは準同型。
（単射性）
iₕ(g₁)=iₕ(g₂)のとき、すなわちhg₁h⁻¹=hg₂h⁻¹が成り立つとき、両辺の右側からhを、左側からh⁻¹をかけるとg₁=g₂が成り立つためiₕは単射。
（全射性）
任意のg∈Gに対してh⁻¹gh∈Gはiₕ(h⁻¹gh)=hh⁻¹ghh⁻¹=gを満たす。これよりiₕは全単射。▢

定義２
群Gに対し、命題２で出てきた自己同型iₕ：G→G：g↦hgh⁻¹を内部自己同型であるという。また、内部自己同型でない自己同型を外部自己同型という。

命題３
群Gに対し、写像φ：G→AutG：h↦iₕは準同型である。

証明
h,k∈Gとg∈Gに対し、(iₕ◦iₖ)(g)=iₕ(iₖ(g))=iₕ(kgk⁻¹)=hkgk⁻¹h⁻¹=(hk)g(hk)⁻¹=iₕₖ(g)が成り立つため、φ(h)◦φ(k)=φ(hk)。よってφは準同型。▢

問１
群Gに対し、Gの内部自己同型全体の集合をInnGとすれば、InnGはAutGの部分群である。さらにInnGはAutGの正規部分群であることも示せ。

問２
群Gが可換群なら、その内部自己同型は恒等写像のみである。

以上