１次方程式の利用（２）（整数・過不足・年齢・割合の問題）

「方程式で文章題を解く」とは、（１）求めたいものをｘとする、（２）等式をつくる、（３）方程式の計算方法にしたがって解を求める、この３つの作業をおこなうことです。
今日は、「１次方程式の利用」でよく出題される問題をとりあげ、３つの作業のうちの２番目、「等式をつくる」を中心に解き方の練習をします。

文章題で式を立てるときは、「等式をつくる」ことに的（まと）をしぼると、楽に式を作ることができるようになります。
もう一つのコツは、等式をつくるとき、問題文の文章をできるだけそのまま活用することです。

★整数の問題１
連続する３つの整数があり、その和は９６である。この３つの整数を求めなさい。

（作業１）ｘを決める
問題の最後を眺めると、「３つの整数を求めなさい」とある。３つともｘにはできないから、一番小さい数をｘにする。

（作業２）等式をつくる前の準備
「連続する３つの整数」とは、７、８、９のように３つ並んだ整数をいいます。１ずつ増えます。だから、最小の数をｘとすると、次はｘ＋１、その次はｘ＋２になります。

等式をつくる
問題文中の「その和は９６である」をそのまま利用します。文章題では、言葉の「～は･･･」の「は」をそのまま数式の「＝」にしたら、うまくいくことがほとんどです。
だから、「和は９６」より「和」＝９６

ｘ＋ｘ＋１＋ｘ＋２＝９６

（作業３）方程式を解く
ｘ＝３１

解答を書く
１ずつ増える数３つを求めればよいから、一番小さい数が３１、あと３２、３３

この問題で覚えておくこと
（１）連続する３つの整数は、ｘ、ｘ＋１、ｘ＋２と表わされる
（２）言葉の「は」を＝にすると、楽に式が立てられる

★整数の問題２
２けたの整数があり、その１０の位の数は６である。この整数の十の位の数字と一の位の数字を入れかえると、もとの整数より３６小さくなる。もとの整数を求めなさい。

中学１年生にはやや難しい問題です。

（作業１）ｘを決める
問題文の最後に、「もとの整数を求めなさい」とあるが、２けたの数の場合、「もとの整数」をｘとすることはできません。
文字式で学んだように、２けたの数は、例えば５８だと１０×５＋８だから、普通１０ｘ＋ｙと表わします。この問題の場合、「１０の位の数が６」と指定してあるから、１０ｘ＋ｙのうち、ｘにあたるのが６、ｙのかわりが方程式のｘになります。
したがって、「１の位をｘとする」が正しい。

（作業２）等式をつくる前の準備
１０の位が６だから、もとの２けたの整数は１０×６＋ｘ、つまり６０＋ｘになります。

等式をつくる
問題文を読んで、数学的にどうなるんだろうと考えるのではなくて、問題文のどこが左辺になって、どこからが右辺か、という発想をするべきです。「等式をつくるとき、問題文の文章をできるだけそのまま活用する」とは、そういう意味です。

「この整数の十の位の数字と一の位の数字を入れかえると」、「もとの整数より３６小さくなる」となっていますから、「この整数の十の位の数字と一の位の数字を入れかえると」が左辺、「もとの整数より３６小さくなる」が右辺です。

もとの整数は、１０×６＋ｘです。
「十の位の数字と一の位の数字を入れかえると」、６とｘを入れかえるわけだから１０ｘ＋６、これが左辺。

「もとの整数より３６小さくなる」に、そのまま当てはめて、もとの整数１０×６＋ｘ－３６、これが右辺。

式は、１０ｘ＋６＝６０＋ｘ－３６

（作業３）方程式を解く
ｘ＝２

解答を書く
求める「もとの整数」１０×６＋ｘの、１の位が２とわかったから、答えは６２

この問題で覚えておくこと
（１）２けたの整数は、文字式では１０ｘ＋ｙ、一次方程式では１０の位か１の位が問題で指定されているので、１０ｘ＋ｙにあてはめて考える
（２）問題文のどこまでが左辺で、どこからが右辺か、という発想で問題を読む

★過不足の問題
生徒に折り紙を配るのに、１人に５枚ずつ配ると１０枚余り、１人に６枚ずつ配ると４枚不足する。生徒の人数と折り紙の枚数を求めなさい。

（作業１）ｘを決める
問題の最後を眺めると「生徒の人数と折り紙の枚数」の２つ書かれています。素直に、前の「生徒の人数」をｘとします。
（過不足の問題は、人数をｘにしたほうがずっと簡単に解けます。）

（作業２）等式をつくる
「１人に５枚ずつ配ると１０枚余り」が左辺で、人数をｘにしましたから５ｘ＋１０、「１人に６枚ずつ配ると４枚不足する」が右辺になり６ｘ－４
式は、５ｘ＋１０＝６ｘ－４

問題文中の「、」の、左が左辺、右が右辺になることが多い。
また、問題文に素直に方程式をつくると、「余る」だと＋、「不足」だと－と素直に式に書くことができます。

（作業３）方程式を解く
ｘ＝１４

解答を書く
人数をｘとしたので１４人。
折り紙の枚数を求めるときも、頭で考えるのではなく、問題文にもどります。「１人に５枚ずつ配ると１０枚余る」にそのまま当てはめて、５×１４＋１０＝８０枚
「１人に６枚ずつ配ると４枚不足する」に当てはめても、６×１４－４＝８０と同じ答えが出てきます。

研究
過不足の問題は、人数でなくて折り紙の方をｘにして解くように指定されることがあります。こちらはやや難しくなります（難しくなる理由は、問題文をそのまま使えないからです）。
解き方としては、「等式をつくる」に専念します。
方程式をたてるときの鉄則として、「ｘにしなかったほうを表わす式をつくれば等式ができる」があります。
この問題では、「人数」と「折り紙の枚数」が出てきました。「折り紙の枚数」をｘにしたら、「人数」のほうで等式をつくることができます。

「１人に５枚ずつ配ると１０枚余る」ということは、人数は折り紙を１人分の５枚で割った数です。「１０枚余った」わけだから、折り紙の枚数から１０を引いて、１人分の５で割ったのが人数を表わす式です。
右辺も同様に考えて、
（ｘ－１０）÷５＝（ｘ＋４）÷６
つまり、ｘ－１０/５＝ｘ＋４/６ ・・・/は分数の横棒

この問題で覚えておくこと
（１）問題文中に「、」があれば、「、」の左が左辺、右が右辺になることが多い
（２）ｘにしなかったほうを表わす式をつくると、等式ができる

★年齢の問題
現在、父は４０歳、子は１２歳である。父の年齢がこの年齢の２倍になるのは何年後か、求めなさい。

（作業１）ｘを決める
問題の最後が、「何年後か」なので、何年後かをｘにします。

（作業２）等式をつくる
問題文「父の年齢がこの年齢の２倍になる」をそのまま使い、「父の年齢」＝「子の年齢の２倍」という等式にします。

気をつけないといけないのは、「誰でも平等に年をとる」ということ。ｘ年たったら、父もｘ歳、子もｘ歳、年をとってしまいます。
言い換えると、今の年齢ではなくて、ｘ年後の年齢を使って、「父の年齢」＝「子の年齢の２倍」の式に当てはめないといけません。
したがって式は、４０＋ｘ＝（１２＋ｘ）×２
つまり、４０＋ｘ＝２（１２＋ｘ）

（作業３）方程式を解く
ｘ＝１６

解答を書く
１６年後

この問題で覚えておくこと
（１）年齢の問題では、父と子、両方の年齢にｘをたしたもので等式をつくる

★割合の問題
ある品物に、原価の３割の利益を見込んで定価をつけたが、定価の１割引きで売ったため利益は３４０円であった。この商品の原価を求めなさい。

（作業１）ｘを決める
最後に「この商品の原価を求めなさい」とあるから、商品の原価をｘとします。

（作業２）等式をつくる前の準備
文字式で学んだことが必要になります。
「３割」は０.３ですが、「３割の利益」になると０.３ではありません。「もとの値段よりさらに３割儲けたい」、つまり「もとにあたる割合１よりさらに０.３上乗せしたい」、１＋０.３＝１.３です。
「定価の１割引」も同様、「１割」は０.１ですが、「１割引き」「もとの割合から０.１ひく」という意味で、１－０.１＝０.９です。
言葉の意味もあやふやな人が多いので説明しておくと、お店をしている人がよそから仕入れたときの値段が「原価」、それに利益を上乗せして売ろうとした値段が「定価」、売れないので値引きをして実際に売った価格が「売り値（売価）」です。

等式をつくる
ｘを１.３倍して、さらに０.９倍だからｘ×１.３×０.９、そして、「利益は３４０円であった」の文言に忠実に。「利益」は、実際に売った値段そのものではなくて、実際に売った値段から人に払った原価を引いた残りが儲け、利益です。
よって、式は、ｘ×１.３×０.９－ｘ＝３４０

（作業３）方程式を解く
ｘ＝２０００

解答を書く
２０００円

この問題で覚えておくこと
（１）「３割の利益」は０.３ではなくて１＋０.３＝１.３、「１割引」は０.１ではなくて１－０.１＝０.９