池のまわりで出会い追いつく問題の考え方（中学数学）

２人が池のまわりをまわって出会ったり追いついたりするとき、時間や速さや場所をたずねる問題があります。

理解しておかないといけないこと

★２人が逆の向きに進むとき

頭の中に小さい池を思いうかべてください。その池のまわりにそって池を一周する道があります。

あなたと友だちが、同じ場所から、池のまわりの道をそれぞれ逆の向きに歩いていきます。お互いの姿はよく見えています。

逆の向きに歩いていくと、出会います。

そのとき歩く速さがほぼ同じだと、あなたは池の約半分、友だちも池の半分ほどを歩いているはずです。

そして、２人の歩いた距離を合わせると、ちょうど池一周分になります。

１人の進んだ距離＋もう一人の進んだ距離＝池１周の長さ

これが、理解し、知っておかないといけないことです。

★２人が同じ向きに進むとき

次に、同じ場所から、２人が同じ向きに進んでいきます。

１人はめちゃくちゃ遅い速さで、もう１人は結構早足で進みます。

小さい池だと、速く進んだ人は、すぐに、ゆっくり歩いている人に追いつきます。
遅い人は、まだほとんど進んでいません。

早足で歩いたあなたは、ちょうど池１周分、遅い人より多く歩いたことに気づくはずです。
言い換えると、２人の歩いた距離のちがいが、池１周分だということになります。

速い方の進んだ距離－遅い方の進んだ距離＝池１周の長さ

これが、理解し、知っておかないといけないことです。

問題の例（１）･･･中１の一次方程式の文章題

★例題１：池の周りに１周480mの遊歩道がある。この道を同じ地点から同時に出発して、Aは毎分65m、Bは毎分55mの速さで歩く。
（１）２人が反対方向に歩き出すと、はじめて出会うのは出発して何分後か。
（２）２人が同じ方向に歩き出すと、AがBをはじめて追いこすのは出発して何分後か。

（式の作り方と解き方）

（１）２人が反対方向に歩き出すと、はじめて出会うのは出発して何分後か。

まず、方程式で解くために、何をxにするかを決めます。
「出発して何分後か。」とあるので、x分後として式を作ります。

次に、方程式は等式です。
求める時間をxとおいたので、左辺も右辺も、同じもの、距離で表わして、等号で結びます。

最後に、この問題だと、反対方向に進む問題なので、
１人の進んだ距離＋もう一人の進んだ距離＝池１周の長さ
が使えます。

距離=速さ×時間ですから、
65x+55x=480

この方程式を解けばよいわけです。

65x+55x=480
120x=480
x=4

答えは４分後です。

（２）２人が同じ方向に歩き出すと、AがBをはじめて追いこすのは出発して何分後か。

追いつく時間をx分後とします。

等式を作ることを意識して、左辺も距離、右辺も距離で、式を作ります。

この問題は、同じ方向に進む問題なので、
速い方の進んだ距離－遅い方の進んだ距離＝池１周の長さ
が使えます。

65x-55x=480
10x=480
x=48

答えは４８分後です。

問題の例（２）･･･中２の連立方程式の文章題

★例題２：１周2100mのジョギングコースがあり、A、Bの２人が同じ地点から同時に出発する。反対方向に走ると、出発してから７分後に出会い、同じ向きに走ると、出発してから３５分後にAがBを追いぬく。A、Bの走る速さをそれぞれ求めなさい。

（式の作り方と解き方）

問題文の最後に「A、Bの走る速さをそれぞれ求めなさい。」とあるので、Aの走る速さを分速xm、Bの走る速さを分速ymとします。

速さをx、yとしたので、左辺、右辺ともに距離を表わす式で等式を作ります。

反対方向に走るときは、
１人の進んだ距離＋もう一人の進んだ距離＝コース１周の長さ
7x+7y=2100

同じ向きに走るときは、
速い方の進んだ距離－遅い方の進んだ距離＝コース１周の長さ
35x-35y=2100

7x+7y=2100…(1)
35x-35y=2100…(2)

(1)×5+(2)

35x+35y=10500
+)35x-35y=2100

70x=12600
x=180

(1)に代入して、
1260+7y=2100
7y=840
y=120

Aの速さは分速１８０m、Bの速さは分速１２０mです。

★まとめ

池の周囲をまわる問題を解くときは、

同じ地点から逆の方向に進むときは
１人の進んだ距離＋もう一人の進んだ距離＝池１周の長さ

同じ地点から同じ方向に進むときは
速い方の進んだ距離－遅い方の進んだ距離＝池１周の長さ