１次関数 : できない問題を簡単にする小さな工夫

１次関数の単元で、中学生が最初、よく点数を落としてしまう問題に次のような問題があります。

中学生が苦手な問題

（１）１次関数ｙ＝３ｘ－１で、ｘの値が２から６まで増加するとき、ｙの値はどのように変化しますか。
（２）１次関数ｙ＝－４ｘ＋１について、ｘの値が－４から２まで増加したときのｙの増加量を求めよ。
（３）１次関数ｙ＝２ｘ＋１で、ｘが１から３まで増加したとき、変化の割合を求めなさい。
（４）１次関数ｙ＝－２ｘ＋１で、ｘの変域が－１≦ｘ<３のときのｙの変域を求めなさい。
（５）１次関数ｙ＝aｘ＋６で、ｘの変域が０≦ｘ≦３のとき、ｙの変域が３≦ｙ≦６である。aの値を求めなさい。

数学の得意な子にしてみれば簡単な問題ですが、普通の子は、やり方を思い出せなかったり、わからなくて解答欄を空白にしたりする問題群です。

苦手な問題には共通点があった

実は、上の５問は、皆同じ種類の問題です。「ｘの値が２つ、出てくること」、「式にｘの値を代入してｙを求めなければならないことを子どもたちが気づきにくいこと」、が共通しています。

正解率を大きく高める小さな工夫

このグループの問題が楽にできるようになる、ちょっとした工夫を思いつきました。
それは、「ｘが２つ出てきたら、ｘの下にｙの値を書き込んでおく」ことです。

（１）１次関数ｙ＝３ｘ－１で、ｘの値が２から６まで増加するとき、ｙの値はどのように変化しますか。

と、ｘ＝２のときのｙの値５、ｘ＝６のときのｙの値１７を、ｘの下に書くくせをつけておきます。
そうすると、「５から１７まで増加する」と簡単に答えはわかってしまいます。

（２）１次関数ｙ＝－４ｘ＋１について、ｘの値が－４から２まで増加したときのｙの増加量を求めよ。

こう書いておけば、ｘ＝－４のときｙ＝１７、ｘ＝２のときｙ＝－７で、ｙの増加量だから－７－１７＝－２４と頭にうかんできやすくなります。

（３）１次関数ｙ＝２ｘ＋１で、ｘが１から３まで増加したとき、変化の割合を求めなさい。

このときも、変化の割合の公式

に、すうっとあてはめやすくなります。

（４）１次関数ｙ＝－２ｘ＋１で、ｘの変域が－１≦ｘ<３のときのｙの変域を求めなさい。

中学生がやり方をよく忘れる問題ですが、ｘの真下に数字が書いてあればさすがに忘れないでしょう。
－５＜ｙ≦３という正解がすっと出やすくなります。

見た目で判断できるので、数の大きさを見落として３≦ｙ＜－５と書いたり、不等号の違いに気づかずに－５≦ｙ≦３とやったりする間違いも大幅に減るはずです。

ちょっとした応用問題、
（５）１次関数ｙ＝aｘ＋６で、ｘの変域が０≦ｘ≦３のとき、ｙの変域が３≦ｙ≦６である。aの値を求めなさい。

と書いておけば、下の６とｙの変域の６が共通であることから、３a＋６＝３の式を思いつきやすくなり、a＝－１という正解を楽に求められるようになります。

私は今まで、馬鹿正直にｘ＝２のとき、式に代入してｙ＝５、ｘ＝６のときｙ＝１７、「ｙの値がどう変化したか」をたずねている問題だから「５から１７に増加した」と答える、とか、変化の割合の問題だと、ｘの増加量、ｙの増加量を記入した表を作らせたりとかして、教えていました。

早めの時期に、「ｘの値が２つ出てきたらその真下にｙの値も書き込んでおけ」と徹底させておけば、子どもたちは迷わずに、「本能」にしたがって（つまり、あれこれ考えることなく）、無理なく正解にたどりつけるということにやっと気づきました。

増加量と値

もう一つ、子どもたちがよくやってしまう、

（１）ｙ＝３ｘ＋１でｘの値が２のときのｙの値…正解はｘ＝２を代入してｙ＝７、

（２）ｙ＝３ｘ＋１でｘの増加量が２のときのｙの増加量…正解は、変化の割合３×２で６

の２つの問題のかんちがい・混同も、「増加量」と書いてあれば変化の割合の問題、「値」と書いてあれば必ず代入、と徹底させたら、ほとんどなくなります。

２つの工夫

１次関数の応用問題、発展問題に入る前に子どもたちがよく間違えて定期テストで足を引っ張るこれらの問題は、上記２つのこと、

「ｘの値が２つ出てきたらその真下にｙの値を書き込んでおく」

「増加量」と書いてあれば変化の割合の問題、「値」と書いてあれば代入

を徹底すれば、相当正解率が上がるはずです。