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【高校情報Ⅰ・基本情報】基数変換(16進法⇔10進法⇔2進法)n進数・小数変換

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基数変換(16進法⇔10進法⇔2進法)n進数・小数変換


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【文字おこし】

試験で良く問われるのが、2進法と10進法と16進法で、相互に変換する知識が必要です。
n進法とn進数という言葉がありますが、
n進法で表記された数のことをn進数と言います。

n進法は1桁の数をn個の数で表現する方法で、n進数はn進法で表される数のことです。
ただ、同じような問題でも情報処理試験はn進数、数学の教科書はn進法と表現しています。
この動画では、表現方法としてのn進法という表現を基本的に使わせてもらいます。


一番身近な例は10進法なので10進法の例から見ていきましょう。
10進法は0~9まで10種類の数字であらわされます。
0から1ずつ増やしていって9までいったら、10種類の全ての数字を使い切ったので、1桁繰り上がります。

つぎに2進法について説明していきます。
2進法は0と1の2種類の数字で表します。
10進法と照らし合わせてみていきましょう
10進法の0は2進法の0
10進法の1は2進法の1
10進法の2は、2進法であらわされる0と1は1桁目は使い切ってしまったので1桁繰り上げて10と表します。見た目は十ですがイチゼロとよみます。
10進法の3は、2進法の11
10進法の4は、2桁とも0と1を使い切ってしまったのでもう一桁くりあがって100と表します。

16進法は0から9までは10進法と一緒ですが9までで一桁で表せる数字は使ったのでアルファベットのAからFを順番につかいます。
10進法の10は16進法のAが対応します
11はB
12はC
13はD
14はE
15はF となります。


ここで16種類の英数字を使い果たしたので、10進法の16を16進法で表すと10に桁上がりします。

10進法の10は 2進法では  1010  となり 16進法で言えばAとなります。

――
その数字が何進法で表されているかという、表記方法は大きく2つあって
数字を丸カッコで囲んで右下に何進法かを表す数字を記述する方法。
(35)n

例えば2進法の1010は 丸カッコの中に1010 右下に2と記述します
10進法は右下に10 16進法は右下に16と記述します。

もう一つは、数字の最後に右下でカッコで囲んで何進法かを記述する方法
35(n)

例えば2進法の1010は 右下の丸カッコの中に2と記述します
10進法は右下の丸カッコに10 16進法は右下の丸カッコに16と記述します。

情報処理技術者試験および令和3年現在の情報科の教科書は上のパターンの表記で、数学の教科書では下のパターンでの記述が多いようです。
今回は下の表記方法でこの後の説明を進めていきます。


情報の試験では10進法で表されるIPアドレスを2進法に変換したり、。
MACアドレスやIPv6アドレスは16進法であらわしたりします、
さらに2進法から16進法に変換したりします。

https://www.youtube.com/watch?v=4BndoP0k0Qc
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n進法の123を10進法で表す場合
1桁目はnの0乗 ×3
2桁目はnの1乗 ×2
3桁目はnの2乗 ×1
それそれの各桁の算出結果を全部足したものが10進法に変換した値になります。

間違いやすいポイントはnの0乗は必ず1になります。

具体的な数字で説明していきます。
まず2進法の101を10進法で表してみましょう。

1桁目は2の0乗×1 
Nの0乗はNがどんな数字でも1になります。なので1×1で1となります。
2桁目は2の1乗は2ですが0をかけると0となります。
3桁目は2の2乗は4で1をかけると4になります。
4+0+1で5となるので2進法の101は10進法で5となります。


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ここで数学的な背景を見ていきましょう。

ここにあるお金を10進法基準で先ほどの10進法の変換論理を使って考えていきましょう。

1円玉が2枚あるので、10の0乗×2 で 2となります。
10円玉は1枚なので10の1乗×1で 10
100円玉は無いので 10の2乗×0で0
1000円は1枚あるので 10の3乗×1で1000
1万円は2枚あるので 10の4乗×2で20000

20000+1000+0+10+2をすると21012となり、実際のお金の金額と一致します。


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次に16進法のAB3を10進法で表しましょう。

1桁目から16の0乗×3 で3
2桁目は16の1乗 ×11とします。
16進法のBは10進法の11なので計算の為10進法にする必要があります。 計算すると 176
3桁目は16の2乗×10 を計算すると2560
2560+176+3 で 2739 となります。

―――
次に2進法から16進法に変換していきましょう。
2進法4桁で10進法基準で0~15までの16種類の数字を表すことができます。
2進法の4桁を16進法では1桁であらわすことができます。

2進法の11111101を16進法に変換しましょう。
2進法で表される数を16進法で表す場合は、下の位から4桁ごとに区切り、10進法に変換してから、10~15までの数の場合はA~Fの16進法に変換します。。

まずしたから4桁ごとに区切ります。
1101は先ほどの2進法から10進法への変換より下の桁から
2の0乗×1 は1
2の1乗×0 は0
2の2乗×1 は4
2の3乗×1 は8
8+4+1は13となります。10進法であらわせたので
先ほどの10進法と16進法の対応づけよりDとなります。

次の1111も同様にやっていきます。
ここで注意するのは一番下の位から数えて2の4乗とするのではなく、区切った位置から1桁目として
2の0乗×1 は1
2の1乗×1 は2
2の2乗×1 は4
2の3乗×1 は8
8+4+2+1 で15 となり先ほどの10進法と16進法の対応づけよりFとなります。

つまり二進法の11111101は16進法ではFDとなります。


――
10進法から2進法の変換についてやっていきましょう。
10進法の10を2進法で表現します。

先ほどやったこことは逆に2進法の0か1の2個の塊が10進法で表される数の中にいくつあるのかということを求めていきます。

2で割っていきながら余りを求めていき、割り切れなくなるまで繰り返します。
すだれ算といって割り算を繰り返し実行する計算を行います。

普段の割り算の記号を逆にしたものを使います。

10進法の10を2進法にしていきましょう。
――
まず10わる2で 5になって 余りは 0になります 余りはあとから纏めて使うので商の右側に記述しておきます。
つぎは5を2で割って、商は2 あまりは1となります。
つぎは2を2で割って商は1余りは0になります。
これで割り切れなくなったので計算はここで終了です。

下から上に数字を並べます
1010 が答えとなります。

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IPアドレス関連での練習問題を解いて行きましょう。

IPアドレス192.168.1.212 の第4オクテットの212の部分を2進法表記にする

10進法から2進法変換はすだれ算を使います。
212 を2でわって 商は106 余りは0
106 を2でわって 商は53 余りは0
53を を2でわって 商は26 余りは1
26 を2でわって 商は13 あまりは0
13 を2でわって 商は6 あまりは1
6 を2でわって 商は3 あまりは0
3 を2でわって 商は1 あまりは1

商と余りを下から並べていって
11010100が答えになります。

IPアドレスは2進法基準ではドットを区切りとした各桁は8ビット表現となります。
第3オクテットの1は2進法でも1ですが8ビット表記で8桁にするために、0を頭に補填して8桁表記するようにしましょう。

今までの知識でn進法から10進法の変換は容易にできます。
たとえば8進法の23を10進法にする場合

8の0乗×3は3
8の1乗×2は16

16+3で 19となります。


――――


こんどは小数点以下が存在する10進法で表される数を2進法に変換していきます。
先ほどの整数部分の10進法から2進法変換は2で割っていきましたが、
今度は2をかけていきます。

10進法で表される0.375 を2進法変換しましょう。
小数点以下が無くなるまで2をかけていきます。

0.375×2 0.75
この整数部分はあとから使うので控えておきます。

0.75 ×2 で1.5 1の部分は控えておきます。

整数部分を0として
0.5× 2 で 1.0 1の部分は控えておきます

これで小数点以下が0となったのでこれ以上2をかけても0になります。

先ほど控えた数字が上から 小数点以下第1位、第2位が該当します。
つまり
10進法で表される0.375は
2進法では0.011となります。

検算していきましょう。
小数第一位は
2のマイナス1乗×0 でゼロ
小数第2位は
2のマイナス2乗×1は4分の1なので0.25
2のマイナス3乗×1は8分の1なので0.125 全部足して0.375となり変換が上手くいっていることが分かります。


情報の試験ではこの基数変換ができること前提で問題が出題されるので、計算ミスしないように練習を重ねていってください。

今日は以上になります。最後までご視聴ありがとうございました。

【参考サイト・参考文献】

tkmium note(共通テスト対策・プログラミング・情報教育全般)
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文部科学省 「情報Ⅰ」教員研修用教材
https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/zyouhou/detail/1416756.htm

詳細(情I703 高校情報I Python)|情報|高等学校 教科書・副教材|実教出版 (jikkyo.co.jp) 検定通過版
https://www.jikkyo.co.jp/book/detail/22023322

令和4年度新版教科書「情報Ⅰ」|高等学校 情報|日本文教出版 (nichibun-g.co.jp)検定通過版
https://www.nichibun-g.co.jp/textbooks/joho/2022_joho01_1/textbook/

その他、情報処理技術者試験(全レベル1~4)/IT企業15年勤務(システム技術部 部長)経験から培った知識を交えながら解説しています。

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