【高校数学】高校で学ぶ「展開」の全てを徹底解説しました。【苦手でも大丈夫！】

こんにちは。
とまねぎです。

今回の記事では
呼吸と同じくらい当たり前に
できるようになってほしい計算である
「展開」について解説します。

中学校で学習した内容でもあり、
苦手に感じる方は少ないかもしれません。

正直、公式を覚えて
あとはひたすら練習あるのみ！
なんて印象もありますよね。

確かにその通りなのですが、
各公式が繋がっていたり、
展開する際に工夫が必要だったりと
展開も意外と奥が深いです。

本記事では中学校の復習からはじまり、
高校の授業で扱う基本的な内容を
全て解説しています。

基礎から丁寧に解説しているので
「展開の困った…もう終わりだ…」
とお悩みの方も勉強になるはずです。

「展開なんて余裕」なんて思っている方。
本当に大丈夫ですか？

こちらの記事は復習にも役に立ちます。
記事の最後には本記事を書くために
作成したＰＤＦデータも掲載してあります。

復習に最適ですので
是非ご活用ください。

また、解説動画も掲載予定です。
勉強に大いに役立ててください。
※2024年５月25日現在で
まだ掲載していません。

高校数学はここから始まります。
「終わらない」ためにも
ここから「始めて」いきましょう。

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目次は次の通りです。

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「乗法」から「展開」へ

１．多項式の乗法

「乗法」とは、かけ算のことです。
まずは中学校の復習から始めましょう。

今回の話で一番大切な法則。
それが「分配法則」です。
画像の右上に書いてある法則ですね。
これは全ての基本となります。

分配法則では矢印のように
計算しましょう。

（１）のように前にある文字でも、
（２）のように後ろにある文字でも、
同じように計算できます。
（３）では先頭にある
「マイナス」も忘れずに計算しましょう。

分配法則は、
（４）や（５）のように
多項式同士の乗法でも
同様に計算します。

（４）でいうと、
先に$${4x}$$を後ろの
（）のまとまりにかけ算。
その後で＋３も同様に
（）のまとまりにかけ算。
こんな流れですね。

その後の計算は
（１）～（３）と同じです。
分配法則を２回やることになります。
最後は同類項をまとめて、
計算終了ですね。

（５）も確認しておいてください。

多項式同士の乗法には
画像のような法則が成り立ちます。

例として挙げている通り、
（１次式）×（２次式）は
３次式になるといった感じです。

応用問題を解く際に
しれっと登場したりするので
覚えておくと良いでしょう。

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２．展開の意味と基本公式

多項式を含んだ乗法を
分配法則を活用しながら
整理することを「展開」と言います。

中学校で学習する展開の公式は
次の通りです。

中学校３年生で学習するので、
詳しい説明は省略しますが、
基本は先ほど紹介した
「分配法則」です。

展開の際、いつも
分配法則を使うのは
正直大変です。

少しでも計算を
楽にするための工夫が
公式というわけです。

本音を言っちゃうと
公式を覚えて
計算練習するしかありません。

例え公式に納得いかなくても
分配法則で計算すれば全て解決です。

　しかし、一応
簡単にポイントだけ紹介しましょう。

こちらの２つは仲間です。
同じ公式と言っても良いかもしれません。

ポイントは
「同じ（）のまとまりをかけていること」
ですね。
２乗とはそういう意味でした。

そんなときは
１．（）の中の項をそれぞれ２乗する。
２．中の項を全部かけて２倍したものを足す（引く）
３．１と２で出た項をすべて足す

こんな計算をします。
２倍したものを足すのか引くのか
これは（）の中にある
＋や－に由来します。

ただし、この計算方法は
（）の中の項が２つの場合のみです。
公式にある通りですよね。

つまり、
（）の中の項が３つ以上の場合は使えない
ので注意が必要です。
（）の中の項が３つのときの
計算方法については
項目３と４でお話しします。

私はこの公式を
「２乗－２乗の展開公式」
なんて呼んでいます。

この公式は
展開以外でも使う機会があります。
形も覚えやすいと思いますので
得意な方もいるでしょう。

ポイントは
「（）の中の符号だけ逆になるときは
２乗－２乗の形になる」
ということです。

計算も簡単なので、
必ず身に付けたい公式です。

最後に中学校で学習する公式と、
高校で学習する公式をまとめて紹介します。

とはいえ、もしかしたら５つ目の公式も
中学校で学習するかもしれません。

４つ目の公式は中学校で学習します。
私は
「足してかける公式」
と紹介しています。

こちらの公式が使える場面は
「（）の中のｘの係数が１のときだけ」
です。

その時は
（）の中の数の部分を
足し合わせたものがｘの係数、
掛け合わせたものが定数項になる
そんなことを示している公式です。

しかし、こちらの公式は不便です。
何故なら
「（）の中のｘの係数が１のときだけ」
という条件に当てはまらない計算の方が
世の中には多いからです。

なので、
「（）の中のｘの係数がどんな時でも」
楽に計算することができる公式が欲しいです。

そんな欲求に応えるために、
５つ目の公式を高校で紹介します。

改めて確認してみましょう。
こんな形の公式ですが、
この公式を使う計算は
ややこしくなることが多いです。

一生懸命公式を覚えて
値を当てはめて計算しても
時間がかかってしまうこともあります。

なので、
この公式は覚えなくて良いです。

結局、元となるものは
分配法則です。

この公式を覚えて、
当てはめようとしなくても
分配法則で考えれば良いです。

（）の中のｘの係数が１のときだけ
時間を短縮するために
４つ目の公式を使いましょう。