複素フーリエ級数で感動したこと

複素フーリエ級数は

このように表される式であるが、めちゃくちゃ複雑に見える

しかしこの式は元を考えれば、オイラーの公式でcos(2π/To kt) + j sin(2π/To kt)を指数表記にしただけのもの

つまり実軸と虚軸とt軸をとってグラフにすると
中身の関数はt軸をぐるぐる回る螺旋になる
そしてこの螺旋はプラスマイナスが変わると逆向きになる

これが0から+∞と0から-∞出たし合わせるとちょうど虚数成分が打ち消されて実数成分しか残らない

結果0から∞の計算で複素数が出てこなかったフーリエ級数と同じ状況を作れる！

しかも成分がcosしか残らないのはフーリエ級数の中身で三角関数の合成をすればいいだけなので問題ない

複素フーリエ級数が出てきた時に複素数がどうなってるのかと
正の整数しか考えてなかった周波数が突然マイナス無限大に拡張されて
式変形の意味も分からなかったからこの説明を知ってめっちゃ感動した今日この頃でした。

参考になった本、サイト

やる夫で学ぶディジタル信号処理(鏡慎吾)
http://www.ic.is.tohoku.ac.jp/~swk/lecture/yaruodsp/fs_comp.html#SECTION00420000000000000000