三平方の定理の整数解(拡張)

$$
\begin{align*}
&x^2+y^2=z^2&
\end{align*}
$$

を下記のように変形する。(左辺第二項を右辺へ移行して因数分解する)

$$
\begin{align*}
x^2&=z^2-y^2&\\
&=(z+y)(z-y)&\\
&=4\frac{z+y}{2}\frac{z-y}{2}&\\
\end{align*}
$$

$${x}$$が整数であるためには右辺の因数は全て整数の平方数でなければならず、したがって$${(z+y)/2}$$及び$${(z-y)/2}$$もそれぞれ整数の平方数であることが必要条件となる。
すなわち$${a,b}$$を整数として

$$
\begin{align*}
&\frac{z+y}{2}=a^2&&\frac{z-y}{2}=b^2&\\
\end{align*}
$$

とすれば

$$
\begin{align*}
x^2&=z^2-y^2&\\
&=4a^2b^2\\
\end{align*}
$$

となり、結局

$$
\begin{align*}
x&=±2ab&\\
y&=a^2-b^2&\\
z&=a^2+b^2&\\
\end{align*}
$$

となる。

以上より、$${0}$$を含む2組の自然数$${a,b}$$を適当に選べば、$${x^2+y^2=z^2}$$を満たす3つの整数の組$${x,y,z}$$の全てを求めることができる。

$${a,b}$$について大小や正負を考慮することなく自由に選択できるように拡張できた。

以上