集合　命題　論理演算　法則

集合とは
ある明確な条件に基づいてグループ化されたデータの集まり
例
　　　動物
犬　牛　羊　猫　虎　　犬∈動物　犬は動物

　　　偶数　　　　　　
2　4　6　8　12　　　2∈偶数　２は偶数

a∈A　意味はaは集合Aの要素
スモールaはラージAの要素であるということ

動物　　　　　　　　　　　偶数
野菜　　　　　　　　　　　　1
野菜¬動物　　　　　　　　　1¬偶数
野菜は動物ではない　　　　1は偶数ではない

a¬A　意味はaは集合Aに属さない(否定)
スモールaはラージAの要素ではないということ

A　　　　　　B
2468　　　　2468

A＝B　集合AとBは同じであること

　　　　　　　　　動物
　　　　　　　とり　魚　サメ
　　　　　哺乳類
　　　　ニンゲン　猫　犬

哺乳類⊆動物　　動物の中の哺乳類
　　　　　　　
A⊆B 集合AはBの部分集合　

集合A＝{ab} 集合B＝{cde}の時
AにもBのも含まれている＝A∪B＝{abcde}
A∪B(和集合)　集合Aと集合Bの少なくとも一方に属する
　　　　　　　要素全体　
　　　　　　　AかBに属する要素のこと

集合A＝{ab} 集合B＝{acde}の時
AB両方に属するものA∩B＝{a}
A∩B(積集合)　集合AB両方に属する要素全体
　　　　　　　AかつBの要素のこと

全体集合U＝{123456789}
集合A＝{13579}の時A−＝{2468}
全体から集合をひいた残りの集合

A−(補集合) 全体集合から集合Aに含まれる要素を取り除いて得られる残り部分の集合

命題とは
正しいか正しくないかが数学的に決まる文章や数式
例　1は奇数である　2は偶数である

命題が正しことを真　true　　　　　時速100kmは1時間で100km進む　これは真
命題が間違っていることを　false　 ニンゲンの水分の割合は50%だ　　これは偽

2は偶数である　真　
3は奇数ではない　偽
a＝100の時、a＜200である　真
a＝100の時、a＜200かつa＞150である　偽
a＝100の時、a＜200またはa＜150である　真
X,Yが実数の時
X＋Y＞0　XY＞0の時　X＞0、Y＞0になる　真
7＋5は12　7×5は35　どちらも0より大きい
Xの2乗＝9の時　X＝3になる　偽
(−3)の2乗でも成り立つから

論理演算とは
条件式を表したもの
　論理和　AまたはB
　論理積　AかつB
　論理否定　Aではないもの
　排他的論理和　AB両方に含まれる部分を除いたAB

1＝真、0＝偽である
論理和(OR演算)　どちらか一方が1ならば演算結果が1　AまたはB
　　　　　　　　　a　　　　b　　　　OR演算
　　　　　　　　　1　　　　1　　　　　　1
　　　　　　　　　1　　　　0　　　　　　1
　　　　　　　　　0　　　　1　　　　　　1
　　　　　　　　　0　　　　0　　　　　　0

論理積(AND演算)　両方が1ならば演算結果が1　AかつB
　　　　　　　　　a　　　　b　　　　AND演算
　　　　　　　　　1　　　　1　　　　　　1
　　　　　　　　　1　　　　0　　　　　　0
　　　　　　　　　0　　　　1　　　　　　0
　　　　　　　　　0　　　　0　　　　　　0

論理否定(NOT演算)　1つの値を反転する演算　Aではないもの
　　　　　　　　　　a　　　　AND演算
　　　　　　　　　　1　　　　　　0
　　　　　　　　　　0　　　　　　1

排他的論理和(XOR演算)　演算する2つの値が一致するときだけ演算結果が0
　　　　　　　　　　　　AB両方に含まれる部分を除いたAB
　　　　　　　　　　　　a　　　　b　　　　XOR演算
　　　　　　　　　　　　1　　　　1　　　　　　0　　　AでありB
　　　　　　　　　　　　1　　　　0　　　　　　1
　　　　　　　　　　　　0　　　　1　　　　　　1
　　　　　　　　　　　　0　　　　0　　　　　　0　　　AB以外
排他的という意味から相手a、bと異なるとき　aが1　bが0　aが0　bが1の場合
演算結果が1(真)になる　排他的である

排他的ではないa、bと一致してる時は演算結果は0(偽)になる　排他的ではない

論理演算の法則
　交換法則　分配法則　結合法則
　論理演算だけに存在する法則　ド･モルガンの法則

交換法則　計算式に含まれる項の順序を入れ替えても同じ結果になること
例　32＋4と4＋32は結果は同じ
　　　　　a OR b=b OR a　aまたはb　bまたはa
　　　　　a AND b=b AND a　aかつb　bかつa

分配法則　括弧を開いて計算することができる
例　10×(8＋5)　括弧から計算　　10×13＝130
　　　　　　　　分配法則を使う　10×8＋10×5＝80＋50＝130
　　　　　　　　a AND (b OR c)=(a AND b) OR (a AND c)
　　　　　　　　a OR (b AND c)=(a OR b) AND (a OR c)

結合法則　どの組み合わせから計算しても同じ結果になる
例　3＋(4＋5)と(3＋4)＋5の結果は同じ
　　　　　 a AND (b AND c)=(a AND b) AND c
　　　　　 a OR (b OR c)=(a OR b) OR c

ド･モルガンの法則　AND演算とOR演算を相互に変換する法則
　　　　　　　　　 複雑な論理演算を単純化する場合も利用
　　　　　　　　　 NOT(a AND d)=(NOT a) OR (NOT b)
　　　　　　　　　 NOT(a OR d)=(NOT a) AND (NOT b)
NOT(a AND d)=(NOT a) OR (NOT b)
AかつB以外(NOTのため)の部分＝A以外　B以外＝AかつB以外の領域

NOT(a OR d)=(NOT a) AND (NOT b)
AまたはB以外(NOTのため)の部分＝A以外とB以外＝AB以外の領域