キッテル固体物理学入門 演習問題解答 第2章
誤答・質問等ありましたら、遠慮なくご連絡願います。
1. 面間隔
(a)
$${kl\bm{a}_1, lh\bm{a}_2, hk\bm{a}_3}$$を結ぶ三角形を含む面を考えると、頂点の係数の逆比が
$$
\dfrac{1}{kl}:\dfrac{1}{lh}:\dfrac{1}{hk}=h:k:l
$$
であるから、この面の指数は(hkl)となる。ゆえに2つのベクトル$${kl\bm{a}_1-lh\bm{a}_2, lh\bm{a}_2-hk\bm{a}_3}$$はkhl面に平行。各ベクトルについて、
$$
\begin{array}{}\bm{G}\cdot(kl\bm{a}_1-lh\bm{a}_2)=2πhkl-2πklh=0\\\bm{G}\cdot(lh\bm{a}_2-hk\bm{a}_3)=2πklh-2πlhk=0\end{array}
$$
となるので、$${\bm{G}}$$はこの面に垂直。
(b)
平面を基本並進ベクトル$${\bm{a}_1}$$によって平行移動すれば、隣接面に移る。(a)によれば面の法線方向単位ベクトルは$${\bm{G}/|\bm{G}|}$$と表せるので、図をもとに平面間距離は
$$
d(hkl)=\bm{a}_1\cdot\bm{G}/|\bm{G}|=2π/|\bm{G}|.
$$
(c)
sc格子では$${\bm{b}_i=2π\bm{a}_i,\: |\bm{a}_i|=a\;\;(i=1,2,3)}$$と同時に各ベクトルは垂直であるから、
$$
\begin{array}{crclc}&|\bm{G}|&=&|h\bm{b}_1+k\bm{b}_2+l\bm{b}_3|\\&&=&2π\sqrt{h^2+k^2+l^2}/a.\\\therefore&d^2&=&(2π/|\bm{G}|)^2=a^2/(h^2+k^2+l^2).&\because(b)\end{array}
$$
2. 六方空間格子
(a)
基本単位格子の体積を計算すると、
$$
\begin{array}{cl}&\bm{a}_1\cdot(\bm{a}_2\times\bm{a}_3)\\=&\left(\begin{matrix}\sqrt3 a/2\\a/2\\0\end{matrix}\right)\cdot\left[\left(\begin{matrix}-\sqrt3 a/2\\a/2\\0\end{matrix}\right)\times\left(\begin{matrix}0\\0\\c\end{matrix}\right)\right]\\=&\left(\begin{matrix}\sqrt3 a/2\\a/2\\0\end{matrix}\right)\cdot\left(\begin{matrix}ac/2\\\sqrt3 ac/2\\0\end{matrix}\right)\\=&\sqrt3 a^2c/2.\end{array}
$$
(b)
逆格子の基本並進ベクトルを計算すると、(a)で$${\bm{b}_2\times\bm{b}_3}$$を計算したことを思い起こせば、
$$
\begin{array}{rcl}\bm{b}_{1}=\dfrac{2\pi }{\sqrt{3}a^{2}c/2}\begin{pmatrix}ac/2 \\\sqrt{3}ac/2 \\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\pi /\sqrt{3}a\\2\pi/a\\0\end{pmatrix}\end{array}
$$
が得られる。他も同様にして、
$$
\begin{array}{rcl}\bm{b}_{2}&=&\dfrac{2\pi }{\sqrt{3}{a^2c}/2}\begin{pmatrix}0 \\0 \\c\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}\sqrt{3}a/2 \\a/2 \\0\end{pmatrix}\\&=&\dfrac{2\pi }{\sqrt{3}a}\begin{pmatrix}-1 \\\sqrt{3} \\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\pi /\sqrt{3}a \\2\pi /a \\0\end{pmatrix}\end{array}
$$
$$
\begin{array}{rcl}\bm{b}_{3}&=&\dfrac{2\pi }{\sqrt{3}a^{2}c/2}\begin{pmatrix}\sqrt{3}a/2 \\a/2 \\0\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-\sqrt{3}a/2 \\a/2 \\0\end{pmatrix}\\&=&\dfrac{2\pi }{\sqrt{3}c}\begin{pmatrix}0 \\0 \\\sqrt{3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0 \\2\pi /c\end{pmatrix}\end{array}
$$
となり、設問に書かれている通りである。
上で求めた$${\bm{b}_i}$$をこの上に図示すると、確かに六方空間格子の逆格子は六方空間格子だが、$${z}$$軸周りに$${π/6}$$の回転を伴っていることがわかる。
(c)
図の通りになる。
すなわち$${\pm\bm{b}_1, \pm\bm{b}_2, \pm\bm{b}_3}$$の垂直二等分面で囲まれる部分である。
3. ブリルアンゾーンの体積
ブリルアンゾーンは逆格子空間の基本講師となるので、逆格子基本並進ベクトルによる平行六面体と同体積である。従って設問の誘導を使って、
$$
\begin{array}{rcl}b_{1}\cdot \left( b_{2}\times b_{3}\right) &=&\dfrac{\left( 2\pi \right)^{3}}{V_c^{3}}\left( a_{2}\times a_{3}\right) \cdot \left[ \left( a_{3}\times a_{1}\right) \times \left( a_{1}\times a_{2}\right) \right] \\&=&\dfrac{\left( 2\pi \right)^{3}}{V_c^{3}}\left( a_{2}\times a_{3}\right) \cdot a_{1}\;a_{3}\cdot \left( a_{1}\times a_{2}\right) \\&=&\left( 2\pi \right)^{3}/V_{c}. \end{array}
$$
4. 回折線の幅
(a)
一般に$${\theta\in\mathbb{R}}$$で
$$
\begin{aligned}\left( 1-e^{i\theta }\right) \left( 1-e^{-i\theta }\right) =1-e^{i\theta }-e^{-i\theta }+1\\=2-2\cos \theta \\= 2\sin ^{2}\theta /2.\end{aligned}
$$
であるから、
$$
\begin{array}{rcl}F^{\ast }F&=&\dfrac{1-\exp \left( iM\bm{a}\cdot \Delta \bm{k}\right) }{1-\exp\left( i\bm{a}\cdot \Delta \bm{k}\right) }\dfrac{1-\exp \left( -iM\bm{a}\cdot \Delta \bm{k}\right) }{1-\exp \left( -i\bm{a}\cdot \Delta\bm{k}\right) }\\&=&\dfrac{\sin ^{2}\left( M\bm{a}\cdot \Delta \bm{k}/2\right) }{\sin^{2}\left( \bm{a}\cdot \Delta \bm{k}/2\right) }.\end{array}
$$
(b)
$$
\begin{array}{rcl}\sin \left( M\bm{a}\cdot \Delta \bm{k}/2\right) &=&\sin \left( M\pi h+M{\varepsilon }/2\right) \\&=&\left( -1\right) ^{Mh}\sin M{\varepsilon }/2\end{array}
$$
が$${0}$$となる最大の$${\varepsilon>0}$$は、
$$
M\varepsilon/2=π\Longleftrightarrow\varepsilon=2π/M
$$
で、これは$${|F|^2}$$の最初の零点でもある。故に図に示すように回折の極大の幅は$${1/M}$$に比例し、$${M\gg1}$$ではこの幅も微小となる。
5. ダイヤモンドの構造因子
(a)
原子位置は0 0 0, 1/2 1/2 0, 1/2 0 1/2, 0 1/2 1/2, 1/4 1/4 1/4, 3/4 3/4 1/4, 3/4 1/4 3/4, 1/4 3/4 3/4であるから、
$$
\begin{array}{rcl}S&=&f\{1+\exp[-iπ(v_1+v_2)]+\exp[-iπ(v_3+v_1)]\\&&+\exp[-iπ(v_2+v_3)]+\exp[-iπ(v_1+v_2+v_3)/2]\\&&+\exp[-iπ(3v_1+3v_2+v_3)/2]+\exp[-iπ(3v_1+v_2+3v_3)/2]\\&&+\exp[-iπ(v_1+3v_2+3v_3)/2]\}.\end{array}
$$
(b)
$${S}$$の4項目まではfccと同一なので、5項目以降を検証する。
$${h\equiv k\equiv l\equiv0 \;(mod \:4)}$$のとき
直ちに$${S=8f}$$$${h\equiv k\equiv0, l\equiv\pm1}$$
4項目までで和は$${0}$$.
5項目以降は$${(-i)^{\pm1}+(-i)^{\pm1}+(-i)^{\mp1}+(-i)^{\mp}=0}$$.
よって$${S=0}$$.$${h\equiv k\equiv0, l\equiv2}$$
4項目まで：$${4}$$
5項目以降：$${-1-1-1-1=-4}$$
よって$${S=0}$$$${h\equiv0, k\equiv l\equiv\pm1}$$ (同順)
4項目まで：$${0}$$
5項目以降：$${-1+1-1+1=0}$$
よって$${S=0}$$.$${h\equiv0, k\equiv\pm1, l\equiv\mp1}$$ (同順)
4まで；$${0}$$
5から：$${1-1-1+1=0}$$
$${\therefore S=0}$$$${h\equiv0, k\equiv\pm1, l\equiv2}$$
4まで：$${0}$$
5から：$${(-i)^{\mp1}+(-i)^{\pm1}+(-i)^{\mp1}+(-i)^{\pm1}=0}$$
$${\therefore S=0}$$$${h\equiv0, k\equiv l\equiv2}$$
4まで：$${4f}$$
5から：$${1+1+1-1=2}$$
$${\therefore S=6f}$$$${h\equiv k\equiv1, l\equiv\pm1}$$
4まで：$${4f}$$
5から：$${(-i)^{\mp1}+(-i)^{\mp1}+(-i)^{\mp1}+(-i)^{\mp1}=\pm4i}$$
$${\therefore S=4(1\pmi)f}$$.$${h\equiv k\equiv1, l\equiv2}$$
4まで：$${0}$$
5から：$${1+1-1-1=0}$$
$${\therefore S=0}$$$${h\equiv1, k\equiv l\equiv2}$$
4まで：$${0}$$
5から：$${-1-1+1+1=-4}$$
$${\therefore S=0}$$$${h\equiv1, k\equiv l\equiv2}$$
4まで：$${0}$$
5から：$${-i+i+i-i=0}$$
$${\therefore S=0}$$$${h\equiv k\equiv l\equiv2}$$
4まで：$${4f}$$
5から：$${-1-1-1-1=-4}$$
$${\therefore S=0}$$
以上に取り上げていない組は数の入れ替えであらわせ、その時の$${S}$$は入れ替え前と同じなので、題意を満たすことがわかった。
(b) 別解
「ベンゼン-benzene-」が紹介する方法を使うと瞬殺できる。この構造はfccとfccが1/4 1/4 1/4ズレた構造の和であるから、
$$
S=f\{1+\exp(iπ/2\;h+iπ/2\;k+iπ/2\;l)\}\{1+(-1)^{h+k}+(-1)^{k+l}+(-1)^{l+h}\}
$$
となる。全て奇数のとき$${1+\exp[ iπ/2\;(h+k+l)]\neq0}$$であり、$${h+k+l\equiv0\;(mod\:4)}$$では$${1+\exp[iπ/2\;(h+k+l)]=2}$$だが、$${h+k+l\equiv2}$$の時は$${S=0}$$となる。
6. 水素原子の原子構造因子
テキストの式(50)を使って部分積分すると
$$
\begin{array}{rcl}f_{\bm{G}}&=&4π\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{1}{πa_0^2}e^{-2ra_0}r^2\dfrac{\sin Gr}{Gr}\\&=&\dfrac{4}{a_0^3G}\left[-\dfrac{a_0}{2}e^{-2r/a_0}r\sin Gr\right]_0^\infty-\dfrac{4}{a_0^3G}\displaystyle\int_0^\infty-\dfrac{a_0}{2}e^{-2r/a_0}\sin Grdr\\&&-\dfrac{4}{a_0^3G}\displaystyle\int_0^\infty-\dfrac{a_0G}{2}e^{-2r/a_0}r\cos Grdr\\&=&\dfrac{2}{a_0^2G}\displaystyle\int_0^\infty e^{-2r/a_0}\sin Grdr+\dfrac{2}{a_0^2}\left[-\dfrac{a_0}{2}e^{-2r/a_0}r\cos Gr\right]_0^\infty\\&&-\dfrac{2}{a_0^2}\displaystyle\int_0^\infty-\dfrac{a_0}{2}e^{-2r/a_0}\cos Grdr-\dfrac{2}{a_0^2}\int_0^\infty\dfrac{a_0G}{2}e^{-2r/a_0}r\sin Grdr\\&=&\dfrac{2}{a_0^2G}\left[-\dfrac{a_0}{2}e^{-2r/a_0}\sin Gr\right]_0^\infty-\dfrac{2}{a_0^2G}\displaystyle\int_0^\infty-\dfrac{a_0G}{2}e^{-2r/a_0}\cos Grdr\\&&+\dfrac{1}{a_0}\displaystyle\int_0^\infty e^{-2r/a_0}\cos Grdr-\dfrac{G}{a_0}\int_0^\infty e^{-2r/a_0}r\sin Grdr\\&=&\dfrac{2}{a_0}\displaystyle\int_0^\infty e^{-2r/a_0}\cos Grdr-\frac{G^2a_0^2}{4}f_{\bm{G}}.\end{array}
$$
また、
$$
\begin{array}{rl}&\displaystyle\int_0^\infty e^{-2r/a_0}\cos Grdr\\=&\left[-\dfrac{a_0}{2}e^{-2r/a_0}\cos Gr\right]_0^\infty-\displaystyle\int_0^\infty\dfrac{a_0G}{2}e^{-2r/a_0}\sin Grdr\\=&\dfrac{a_0}{2}-\dfrac{a_0G}{2}\left[-\dfrac{a_0}{2}e^{-2r/a_0}\sin Gr\right]_0^\infty+\dfrac{a_0G}{2}\displaystyle\int_0^\infty-\dfrac{a_0G}{2}e^{-2r/a_0}\cos Grdr\\=&\dfrac{a_0}{2}-\dfrac{a_0^2G^2}{4}\displaystyle\int_0^\infty e^{-2r/a_0}\cos Grdr\end{array}
$$
であるから、
$$
f_{\bm{G}}=\left(1+\dfrac{a_0^2G^2}{4}\right)^{-1}\dfrac{2}{a_0}\left(1+\dfrac{a_0^2G^2}{4}\right)^{-1}\dfrac{a_0}{2}=\dfrac{16}{(4+a_0^2G^2)^2}.
$$
7. 2原子の並んだ線
(a)
図によって光路差が$${a\cos\theta}$$となるので、干渉条件は$${a\cos\theta=n\lambda}$$である。
(b)
単位構造は 0 0 0 にA, 1/2 0 0 にBとでき、逆格子ベクトルは$${\bm{a}\cdot\bm{b}=2π}$$から$${\bm{b}=2π\bm{a}/a^2}$$にとれる。
図より散乱ベクトルは
$$
\bm{G}=k\sin(π/2-\theta)\hat{x}+k[1-\cos(π/2-\theta)]\hat{y}
$$
となるので、
$$
\bm{r}\cdot\bm{G}=2π\cos\theta/\lambda\cdot x.
$$
故に構造因子は
$$
\begin{array}{rcl}S_{\bm{G}}&=&f_A+f_B\exp(-i2π/\lambda\;\cos\theta\;a/2)\\&=&f_A+f_B\exp(-inπ)\quad\because(a)\\&=&\begin{cases}f_A+f_B&(n\;is\;even)\\f_A-f_B&(n\;is\;odd)\end{cases}.\end{array}
$$
よって散乱振幅は
$$
\begin{cases}F\propto|f_A+f_B|^2&(even)\\F\propto|f_A-f_B|^2&(odd)\end{cases}
$$
となる。
(c)
$${n}$$が奇数の時に散乱振幅が$${0}$$となり、干渉縞の暗線が明度$${0}$$となる。
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