【行間を読む】砂川「理論電磁気学 第3版」p. 117 (極座標系における多価関数の処理)

キーワード

• 極座標系

• 多価性

該当箇所

$$
Y(\varphi)=e^{\pm im\varphi}\qquad(8.12)
$$

と書ける。$${Y(\varphi)}$$が$${\varphi}$$の1価関数であるためには

$$
m=0, \pm1, \pm2, \cdots\qquad(8.13)
$$

なる値をとらなくてはならない。

疑問

$${Y}$$が1価関数であることと$${m}$$が整数であることの間の論理。

解説

前ページの図8.2を参考に、物理的・幾何学的描像を考えれば、

$$
Y(\varphi+2\pi)=Y(\varphi)
$$

が求められる（仮にこれが破られれば、同じ位置にあって関数の値が変わることになる）。その条件は

$$
e^{\pm im\varphi\pm2im\pi}=e^{\pm im\varphi}\quad i.e.\quad m\in\mathbb{Z}
$$

である。