「死にたい」と言われた時どうしたらいいのか

正解は精神科医療につなぐことです。以上。

ここから先は、蛇足です。
下手にカウンセラーもどきみたいな事をしても、あなたが疲弊するだけです。
おそらく、あなたは途中でイヤになって投げ出してしまいますが、それは相手にとって見捨てられたと感じてしまう1番最悪なこと。
溺れかけの人間が目の前にいる、でもあなたは泳げもしない何の装備も無い、その状況で池に飛び込むのと同じです。

最初から医師に任せましょう。
メンクリに代わりに電話するぐらいはしてあげていいのかも。
予約取りづらいからね。