楕円体面上におけるスカラの面積分とガウスの定理

注意！

この記事では、筆者が問題を独自に解釈し、解答を作成しているため、問題や解答の内容の正確さについて一切の責任を負いかねます。

問題

閉曲面$${S:\,2x^2+3y^2+6z^2=1}$$とベクトル場$${\mathbf{F}=(2x,3y,6z)}$$を考える。このとき、以下の問に答えよ。

(1) 閉曲面$${S}$$上の点$${(x,y,z)}$$における法線ベクトル$${\mathbf{n}}$$のうち、外向きかつ$${|\mathbf{n}|=1}$$をみたすものを求めよ。

(2) (1)で求めた$${\mathbf{n}}$$に対して、

$$
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=\sqrt{4x^2+9y^2+36z^2}
$$

が成り立つことを示せ。

(3) $${\displaystyle\int_S\sqrt{4x^2+9y^2+36z^2}\text{d}S}$$を求めよ。

解答

(1)

曲面$${f(x,y,z)=0}$$上の点$${(x,y,z)}$$における法線ベクトルは$${\nabla f(x,y,z)}$$で求められる。したがって、条件をみたす法線ベクトルは、

$$
\begin{align*}
\mathbf{n}&=\frac{\nabla f(x,y,z)}{|\nabla f(x,y,z)|}\\
&=\frac{1}{\sqrt{(4x)^2+(6y)^2+(12z)^2}}(4x,6y,12z)\\
&=\frac{1}{\sqrt{4x^2+9y^2+36z^2}}(2x,3y,6z)
\end{align*}
$$

(2)

$$
\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=\frac{(2x)^2+(3y)^2+(6z)^2}{\sqrt{4x^2+9y^2+36z^2}}=\sqrt{4x^2+9y^2+36z^2}
$$

(3)

(2)より、

$$
\int_S\sqrt{4x^2+9y^2+36z^2}\text{d}S=\int_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\text{d}S
$$

が成り立つ。さらに、閉曲面$${S}$$の表面と内部からなる領域を$${V}$$として、ガウスの定理より

$$
\int_S\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\text{d}S
=\int_V\text{div}\,\mathbf{F}\text{d}V
$$

が成り立つ。ここで、$${\text{div}\,\mathbf{F}=2+3+6=11}$$であることから、

$$
\int_V\text{div}\,\mathbf{F}\text{d}V
=11\int_V\text{d}V
$$

$${\displaystyle \int_V\text{d}V}$$は、領域$${V}$$の体積である。ここで、閉曲面$${S}$$の方程式$${2x^2+3y^2+6z^2=1}$$は、

$$
\frac{x^2}{(1/\sqrt{2})^2}+\frac{y^2}{(1/\sqrt{3})^2}+\frac{z^2}{(1/\sqrt{6})^2}=1
$$

と変形できるので、これは$${x,y,z}$$方向の半径が、それぞれ$${\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{6}}}$$の楕円体であることがわかる。一般に、$${x,y,z}$$方向の半径が$${a,b,c}$$の楕円体の体積は$${\displaystyle\frac{4abc\pi}{3}}$$であるから、領域$${V}$$の体積は

$$
\frac{4\pi}{3}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{\sqrt{3}}\times\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{2\pi}{9}
$$

となる。したがって、求める面積分の値は、

$$
\int_S\sqrt{4x^2+9y^2+36z^2}\text{d}S=11\times\frac{2\pi}{9}=\frac{22\pi}{9}
$$