Z変換と最終値公式を用いて数列の和を求める【京都大学2021年数学】

京都大学2021年数学第3問

無限級数

$$
\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^n\cos\frac{n\pi}{6}
$$

の和を求めよ。

解答

$${\displaystyle a_n=\left(\frac{1}{2}\right)^n\cos\frac{n\pi}{6}}$$とおく。この数列のZ変換$${\mathcal{Z}[a_n](z)=A(z)}$$を求める。

$$
\begin{align*}
\mathcal{Z}[a_n]&=\mathcal{Z}\left[\left(\frac{1}{2}\right)^n\frac{1}{2}\left\{\exp\left(j\frac{n\pi}{6}\right)+\exp\left(-j\frac{n\pi}{6}\right)\right\}\right](z)\\
&=\frac{1}{2}\mathcal{Z}\left[
\left(\frac{e^{j\frac{\pi}{6}}}{2}\right)^n+\left(\frac{e^{-j\frac{\pi}{6}}}{2}\right)^n
\right](z)\\
&=\frac{1}{2}\left\{\frac{z}{z-\dfrac{e^{j\frac{\pi}{6}}}{2}}+\frac{z}{z-\dfrac{e^{-j\frac{\pi}{6}}}{2}}\right\}
\end{align*}
$$

ここで、最終値公式から、求める和の値は$${A(1)}$$に等しい。したがって、

$$
\begin{align*}
\sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^n\cos\frac{n\pi}{6}&=
\left.
\frac{1}{2}\left\{\frac{z}{z-\dfrac{e^{j\frac{\pi}{6}}}{2}}+\frac{z}{z-\dfrac{e^{-j\frac{\pi}{6}}}{2}}\right\}
\right|_{z=1}\\
&=\frac{1}{2-e^{j\frac{\pi}{6}}}+\frac{1}{2-e^{-j\frac{\pi}{6}}}\\
&=\frac{2}{4-(\sqrt{3}+i)}+\frac{2}{4-(\sqrt{3}-i)}\\
&=\frac{2(4-\sqrt{3}+i+4-\sqrt{3}-i)}{(4-\sqrt{3}-i)(4-\sqrt{3}+i)}\\
&=\frac{4(4-\sqrt{3})}{(4-\sqrt{3})^2+1}\\
&=\frac{4(4-\sqrt{3})}{20-8\sqrt{3}}\\
&=\frac{4-\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}}\\
&=\frac{(4-\sqrt{3})(5+2\sqrt{3})}{25-12}\\
&=\frac{14+3\sqrt{3}}{13}
\end{align*}
$$

となる。

もちろん高校範囲の解き方ではないです。しかし、巷で出回ってる解答のように、$${\cos}$$の周期性に着目して解くみたいなことをせずに、直接和の値を求めに行けるので楽かなと思います。最後の有利化とかはちょっと大変ですが。

おまけ

Z変換の定義と、最終値公式に関する補足です。
数列$${\{x_n\}\,\,(n=0,1,2,\cdots)}$$の(片側)Z変換は、

$$
\mathcal{Z}[x_n](z)=X(z)=\sum_{n=0}^\infty x_nz^{-n}
$$

で定義されます。ここで、最終値公式から

$$
\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{z\to 1}(z-1)X(z)
$$

が成り立ちます。$${\displaystyle S_n=\sum_{k=0}^na_n}$$のZ変換は、数列$${b_n=1}$$との畳み込みと考えて

$$
\mathcal{Z}\left[S_n\right](z)=
\mathcal{Z}\left[\sum_{k=0}^na_nb_{n-k}\right](z)=A(z)B(z)=\frac{z}{z-1}A(z)
$$

であるから、無限級数の和$${S}$$は、$${S_n}$$の最終値と解釈して

$$
S=\lim_{z\to1}(z-1)\frac{z}{z-1}A(z)=A(1)
$$

となります。$${a_n=\alpha^n}$$のときは、

$$
\mathcal{Z}[a_n](z)=\frac{z}{z-\alpha}
$$

Z変換が高校数学の数列の問題に応用できるという話は、もしかしたら今後改めて書くかもしれません。