覚えない！ベクトル解析の公式シリーズ【実践編④】

ちょっと復習

ナブラ関係の公式をまとめてみます。

$$
\begin{align*}

\text{div}\,\text{grad}\,\phi&=\nabla\cdot\nabla\phi=\nabla^2\phi=\Delta\phi\\

\text{rot}\,\text{grad}\,\phi&=0\\

\text{div}\,\text{rot}\, a&=0\\

\text{rot}\,\text{rot}\, a&=\text{grad}\,\text{div}\, a-\nabla^2 a\\

\text{grad}\,\text{div}\,a&=\text{rot}\,\text{rot}\, a+\nabla^2 a

\end{align*}    
$$

内積の勾配

これだけちょっと特殊なので，先に結論から

$$
\begin{align*}

\nabla(a\cdot b)

&=(a\cdot\nabla)b+(b\cdot\nabla)a+b\times(\nabla\times a)+a\times(\nabla\times b)\\

\text{grad}\,(a\cdot b)

&=(a\cdot\nabla)b+(b\cdot\nabla)a+b\times\text{rot}\,a+a\times\text{rot}\,b

\end{align*}
$$

普通に示そうとすると、

$$
\begin{align*}

[\nabla(a\cdot b)]_\lambda=\partial_\lambda(a\cdot b)=\partial_\lambda a_ib_i

=b_i\partial_\lambda a_i+a_i\partial_\lambda b_i

\end{align*}
$$

となって，手が止まる．ここから先は「$${x}$$に対して，上手く$${y}$$を見つけてきて$${x=x+y-y}$$とし，$${x+y}$$を変形していく」的なことをする必要がある。そこで、

$$
\begin{align*}

&b\times(\nabla\times a)+a\times(\nabla\times b)

=\nabla(a\cdot b)-(a\cdot\nabla)b-(b\cdot\nabla)a

\end{align*}
$$

を示すことにする．

$$
\begin{align*}

[b\times(\nabla\times a)]_\lambda

&=\varepsilon_{\lambda\mu\nu}b_\mu(\nabla\times a)_\nu\\

&=\varepsilon_{\lambda\mu\nu}b_\mu\varepsilon_{\nu ij}\partial_i a_j\\

&=\varepsilon_{\nu\lambda\mu}\varepsilon_{\nu ij}b_\mu\partial_i a_j\\

&=(\delta_{\lambda i}\delta_{\mu j}-\delta_{\lambda j}\delta_{\mu i})b_\mu\partial_i a_j\\

&=\delta_{\mu j}b_\mu\delta_{\lambda i}\partial_i a_j-\delta_{\mu i}b_\mu\partial_i\delta_{\lambda j}a_j\\

&=\delta_{\mu j}b_\mu\partial_\lambda a_j-\delta_{\mu i}b_\mu\partial_ia_\lambda\\

&=\delta_{\mu j}b_\mu\partial_\lambda a_j-(b\cdot\nabla)a_\lambda\\

\end{align*}
$$

ここで，$${[a\times(\nabla\times b)]_\lambda}$$は，さきほどの

$$
[b\times(\nabla\times a)]_\lambda=\delta_{\mu j}b_\mu\partial_\lambda a_j-(b\cdot\nabla)a_\lambda
$$

の$${a}$$と$${b}$$の文字を入れ替えればいいから

$$
\begin{align*}

[a\times(\nabla\times b)]_\lambda=&\delta_{\mu j}a_\mu\partial_\lambda b_j-(a\cdot\nabla)b_\lambda\\

&=\delta_{j\mu}a_j\partial_\lambda b_\mu-(a\cdot\nabla)b_\lambda\\

&=\delta_{\mu j}a_j\partial_\lambda b_\mu-(a\cdot\nabla)b_\lambda

\end{align*}
$$

すると，

$$
\begin{align*}

&[b\times(\nabla\times a)+a\times(\nabla\times b)]_\lambda\\

=&\underline{\delta_{\mu j}b_\mu\partial_\lambda a_j}-(b\cdot\nabla)a_\lambda+\underline{\delta_{\mu j}a_j\partial_\lambda b_\mu}-(a\cdot\nabla)b_\lambda\\

=&\delta_{\mu j}(\underline{b_\mu\partial_\lambda a_j+a_j\partial_\lambda b_\mu})-(b\cdot\nabla)a_\lambda-(a\cdot\nabla)b_\lambda\\

=&\delta_{\mu j}\underline{\partial_\lambda b_\mu a_j}-(b\cdot\nabla)a_\lambda-(a\cdot\nabla)b_\lambda\\

=&\partial_\lambda(\delta_{\mu j}b_\mu a_j)-(b\cdot\nabla)a_\lambda-(a\cdot\nabla)b_\lambda\\

=&\partial_\lambda(b\cdot a)-(b\cdot\nabla)a_\lambda-(a\cdot\nabla)b_\lambda\\

=&[\nabla(a\cdot b)-(b\cdot\nabla)a-(a\cdot\nabla)b]_\lambda

\end{align*}    
$$

したがって，

$$
\begin{align*}

b\times(\nabla\times a)+a\times(\nabla\times b)

=&\nabla(a\cdot b)-(a\cdot\nabla)b-(b\cdot\nabla)a\\

\nabla(a\cdot b)

=&(a\cdot\nabla)b+(b\cdot\nabla)a+b\times(\nabla\times a)+a\times(\nabla\times b)\\

\text{grad}\,(a\cdot b)

=&(a\cdot\nabla) b+(b\cdot\nabla) a+b\times\text{rot}\,a+a\times\text{rot}\, b

\end{align*}
$$

外積の発散

$$
\begin{align*}

\nabla\cdot(a\times b)=&\partial_\lambda(a\times b)_\lambda\\

=&\partial_\lambda\varepsilon_{\lambda\mu\nu}a_\mu b_\nu\\

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\lambda(a_\mu b_\nu)\\

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}(b_\nu\partial_\lambda a_\mu+a_\mu\partial_\lambda b_\nu)\\

=&b_\nu\varepsilon_{\nu\lambda\mu}\partial_\lambda a_\mu+a_\mu(-\varepsilon_{\mu\lambda\nu})\partial_\lambda b_\nu\\

=&b\cdot(\nabla\times a)-a\cdot(\nabla\times b)

\end{align*}
$$

したがって、

$$
\begin{align*}
\nabla\cdot(a\times b)=&b\cdot(\nabla\times a)-a\cdot(\nabla\times b)\\
\text{rot}\,(a\times b)=&b\cdot\text{rot}\,a-a\cdot\text{rot}\, b
\end{align*}
$$

外積の回転

$$
\begin{align*}
[\nabla\times(a\times b)]_\lambda

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\mu(a\times b)_\nu\\

=&\varepsilon_{\lambda\mu\nu}\partial_\mu\varepsilon_{\nu ij}a_ib_j\\

=&\varepsilon_{\nu\lambda\mu}\varepsilon_{\nu ij}\partial_\mu (a_ib_j)\\

=&(\delta_{\lambda i}\delta_{\mu j}-\delta_{\lambda j}\delta_{\mu i})(b_j\partial_\mu a_i+a_i\partial_\mu b_j)\\

=&\delta_{\lambda i}\delta_{\mu j}b_j\partial_\mu a_i+\delta_{\lambda i}\delta_{\mu j}a_i\partial_\mu b_j-\delta_{\lambda j}\delta_{\mu i}b_j\partial_\mu a_i-\delta_{\lambda j}\delta_{\mu i}a_i\partial_\mu b_j\\

=&\delta_{j\mu}b_j\partial_\mu(\delta_{\lambda i}a_i)+\delta_{\lambda i}a_i\delta_{\mu j}\partial_\mu b_j-\delta_{\lambda j}b_j\delta_{\mu i}\partial_\mu a_i-\delta_{i\mu}a_i\partial_\mu(\delta_{\lambda j}b_j)\\

=&(b\cdot\nabla)a_\lambda+a_\lambda(\nabla\cdot b)-b_\lambda(\nabla\cdot a)-(a\cdot\nabla)b_\lambda\\

=&[(b\cdot\nabla)a+a(\nabla\cdot b)-b(\nabla\cdot a)-(a\cdot\nabla)b]_\lambda

\end{align*}
$$

したがって、

$$
\begin{align*}

\nabla\times(a\times b)

=&(b\cdot\nabla)a+a(\nabla\cdot b)-(a\cdot\nabla)b-b(\nabla\cdot a)\\

\text{rot}\,(a\times b)=&(b\cdot\nabla) a+a\text{div}\,b-(a\cdot\nabla) b-b\text{div}\, a

\end{align*}
$$

いや、入力が大変すぎる。
次回で最終回です。スカラ四重積とベクトル四重積の公式を証明します。お楽しみに。