【数の比べ方】自然数と整数の数は同じ！

　こんにちは〜インフラエンジニアのtamolabです！
最近数学の記事ばかりで申し訳ないです。今回も数学の記事になります。笑
　個人的に面白いと思っているのが、自然数全体の数の個数と、整数全体の数の個数が同じということです。自然数といえば1, 2, 3, 4, ...のような無限に続く数のことで、整数といえば0を含む±1, ±2, ±3, ±4, ...のような無限に続く数のことです。おい待てよ。単純に考えて二倍は数あるじゃねえか。そう感じるかと思います。本当に同じ個数なのでしょうか？？下記のように、自然数全体の集合は整数全体の集合の部分集合です。だったらその数も違いがあると思われますが、実は個数は同じなんです。

1. 数の比べ方は二つあります

　そもそも数を比べる方法は二つあります。

方法A：個数を数えて大小を比べる方法
方法B：お互いを対応させながら大小を比べる方法

　例えば、方法Aを利用すると下記の図のような場合、どちらの籠のりんごが多いかを比べることができます。皆さんもかごの中のリンゴの個数を数えて大小を判断したと思います。一方で、方法Bを利用してリンゴの数の大小を比べることができます。

2. 方法Aで調べる

　自然数全体の数字の数を数えることは困難です。数える手法はあるのですが、1,2,3,...に対して、1つ、2つ、3つ、...と全て無限に数えるのは困難です。よって、方法Aで自然数全体の集合と整数全体の集合を比較することは難しいです。

3. 方法Bで調べる

　方法Bで自然数全体の集合と整数全体の集合を比較してみましょう。先程のリンゴの比較方法と同様に数を対応させて行きます。下記のような対応規則で自然数と整数を対応させた場合を考えてみましょう。そうすると、どの整数に対しても自然数を対応させることができます。よって、二つの個数は同じであると言えてしまうのです。

4. 結論

　二つの集合の個数について、方法Bを利用して比較すると、二つの個数は同じであることがわかります。不思議ですね。この考え方は数学の無限集合における濃度という考え方で、自然数全体の集合の濃度はアレフ・ゼロ ℵ0と定められています。
　ただ、じゃぁ実数全体の集合も個数が同じかと言うと、そうではないことが証明されています。詳しく知りたい方は下記を見てください！

＜参照：永野研究室＞

集合論その２

5. キーワード

#集合論 #自然数 #整数 #数学 #アレフゼロ

6. お問い合わせ

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