ハミルトン力学系における流体方程式の導出

修士論文で決定論的な可逆力学系（一次元セルオートマトン）の非平衡緩和系の研究をやったときに、佐々真一先生によるハミルトン系からの流体方程式の導出の論文（Shin-ichi Sasa,“Derivation of Hydrodynamics from the Hamiltonian Description of Particle Systems”,Phys. Rev. Lett. 112, 100602(2014)）の計算を追いかけたので、せっかくなのでその解説をここに残したいと思います。

ハミルトン系の記述法

系の力学座標、すなわち配位を

$$
\Gamma=(\bm{r}_1,\bm{r}_2,\cdots,\bm{r}_N,\bm{p}_1,\bm{p}_2,\cdots,\bm{p}_N)
$$

と表します。そしてこの$${\Gamma}$$の時間発展は次のハミルトニアン

$$
H(\Gamma)=\sum^N_{i=1} \frac{\left| \bm{p}_i \right|^2}{2 m} + \sum_{i < j} V(\left| \bm{r}_i-\bm{r}_j \right|)
$$

と正準方程式

$$
\left\{
\begin{aligned}
     &  \frac{d\bm{r}_i}{dt} =\frac{ \partial \hat{H}}{ \partial \bm{p}_i} = \frac{\bm{p_i}}{m} \\
     & \frac{d\bm{p}_i}{dt} = - \frac{ \partial \hat{H}}{ \partial \bm{r}_i}  = -\frac{ \partial V}{ \partial \bm{r}_i }
\end{aligned}
\right.
$$

に従っています。この方程式の解を$${(\Gamma_t)_{t \in \bm{R}}}$$と書き、特に$${\Gamma_0=\Gamma}$$と表すことにします。すると、この解は$${\Gamma \rightarrow \Gamma_t}$$という写像を表すと考えることができます。
当然$${(\Gamma_t)_s=\Gamma_{s+t}}$$、$${(\Gamma_t)_{-t}=\Gamma_0=\Gamma}$$が成り立ちます。

また、以下では系の状態$${\Gamma}$$に依存する物理量を$${\hat{A}(\Gamma)}$$のようにハットをつけて表します。例えば保存量である質量$${\hat{\rho}}$$、運動量$${\hat{\bm{\pi}}}$$、エネルギー$${\hat{h}}$$の密度場はそれぞれ

$$
\begin{aligned}
\hat{\rho}(\bm{r},\Gamma) & \equiv \sum_i m \delta(\bm{r}-\bm{r}_i) \\
\hat{\bm{\pi}}(\bm{r},\Gamma) & \equiv \sum_i \bm{p}_i \delta(\bm{r}-\bm{r}_i) \\
\hat{h}(\bm{r},\Gamma) & \equiv \sum_i \left[ \frac{|\bm{p}_i|^2}{2m} + \frac{1}{2} \sum_{j \neq i} V(|\bm{r}_i - \bm{r}_j|) \right] \delta(\bm{r}-\bm{r}_i)
\end{aligned}
$$

のように表されます。これらをまとめて5変数のベクトル場として$${\hat{C}=(\hat{h},\hat{\bm{\pi}},\hat{\rho})}$$、各成分を$${\hat{C}^\alpha(\alpha=0,1,2,3,4)}$$と書くことにします。

ここで、

$$
\begin{aligned}
F^a_{ij} & \equiv - \frac{ \partial V (|\bm{r}_i - \bm{r}_j|) }{ \partial x^a_i } \\
D(\bm{r}; \bm{r}_i , \bm{r}_j) & \equiv \int_0^1 d \xi \delta(\bm{r} - \bm{r}_i - (\bm{r}_j - \bm{r}_i) \xi )
\end{aligned}
$$

という量を定義すると、カレントは連続方程式$${\partial_t \hat{C}^\alpha(\bm{r},\Gamma_t)  + \partial^a \hat{J}^{\alpha a}(\bm{r},\Gamma_t) =0}$$より次のように与えられます。

$$
\begin{aligned}
\hat{J}^{0 a} & = \sum_i \left[ \frac{p^2_i}{2 m} + \frac{1}{2} \sum_{j \neq i}V(|\bm{r}_{ij}|) \right]  \frac{p^a_i}{m} \delta(\bm{r} - \bm{r}_i) +\frac{1}{2} \sum_{i < j} \frac{p^b_i + p^b_j}{m} (x^a_i - x^a_j) F^b_{ij} D(\bm{r}; \bm{r}_i , \bm{r}_j) \\
\hat{J}^{a b} & = \sum_i \frac{p^a_i p^b_i}{m} \delta(\bm{r} - \bm{r}_i) + \sum_{i < j}  (x^b_i - x^b_j) F^a_{ij} D(\bm{r}; \bm{r}_i , \bm{r}_j) \\
\hat{J}^{4 a} & = \hat{\pi}^a
\end{aligned}
$$

ただし、上の計算では

$$
\delta(\bm{r} - \bm{r}_i) -  \delta(\bm{r} - \bm{r}_j) = \frac{ \partial}{ \partial x^b} (x^b_j - x^b_i) D(\bm{r}; \bm{r}_i , \bm{r}_j)
$$

という関係式を用いました。このとき、

$$
F^a_{ij}  = - \frac{ \partial V (r_{ij}) }{ \partial x^a_i } = - \frac{ \partial V (r_{ij}) }{ \partial r_{ij} } \frac{ \partial r_{ij} }{ \partial x^a_i } = - \frac{ \partial V (r_{ij}) }{ \partial r_{ij} } \frac{ x^a_i - x^a_j}{ r_{ij}  }
$$

より$${\hat{J}^{a b} = \hat{J}^{b a}}$$は明らかです。

局所平衡分布と動座標

動座標系での物理量

流体力学における局所平衡の仮定とは

ある微小体積要素がある時刻で速度$${\bm{u}(\bm{r})}$$で運動している時、それと共に運動する座標系からその要素を観測すると平衡に十分近い

というものです。ここで次のような座標変換$${\Gamma \rightarrow \Gamma'}$$を考えます。

$$
\begin{aligned}
& \bm{r}_i \rightarrow \bm{r}'_i=\bm{r}_i \\
& \bm{p}_i \rightarrow \bm{p}'_i=\bm{p}_i - m \bm{u}(\bm{r}_i) \\
（ただし、速度場&\bm{u}(\bm{r}) は\bm{r}付近の粒子の平均速度を表す。）\end{aligned}
$$

ここで$${\Gamma}$$を実験室系、$${\Gamma'}$$を動座標系と呼ぶことにします。また、動座標系における物理量を$${\hat{A}(\bm{r},\Gamma')=\hat{A}'(\bm{r},\Gamma)}$$と書きます。

この動座標系$${\Gamma'}$$における物理量を実験室系$${\Gamma}$$での表示に置き換えると、保存量$${\hat{C}'^\alpha}$$は次のようになります。

$$
\begin{aligned}
& \hat{h}'(\bm{r})=\hat{h}(\bm{r}) - \hat{\pi}^a(\bm{r}) u^a(\bm{r}) + \frac{1}{2} \hat{\rho}(\bm{r}) u^2(\bm{r}) \\
& \hat{\pi}'^a(\bm{r}) = \hat{\pi}^a(\bm{r}) - \hat{\rho}(\bm{r}) u^a(\bm{r}) \\
& \hat{\rho}'(\bm{r}) =\hat{\rho}(\bm{r})
\end{aligned}
$$

(ただし、$${a,b,c}$$のようなアルファベットの添字はユークリッド座標に対応する1,2,3の値を取るとし、アインシュタインルールを適用する。)

よって、カレント$${\hat{J}'^{\alpha a}}$$は

$$
\begin{aligned}
& \hat{J}'^{0 a} = \hat{J}^{0 a} -\hat{J}'^{a b} u^b - \hat{\pi}'^a \frac{u^2}{2} - \hat{h}u^a + \hat{\Delta}^a \\
& \hat{J}'^{a b} = \hat{J}^{a b} + \hat{\rho}u^a u^b - \hat{\pi}^a u^b - \hat{\pi}^b u^a \\
& \hat{J}'^{4 a} = \hat{\pi} - \hat{\rho}u^a \\
(ただし、&\hat{\Delta}^a \equiv \sum_{i < j} (u^b(\bm{r}) -u^b(\bm{r}_i)) (x^a_i - x^a_j) F^b_{ij} D(\bm{r}; \bm{r}_i , \bm{r}_j)
\end{aligned}
$$

となります。ここで得られた$${\hat{h}'}$$は微小体積要素の内部エネルギーに対応します。

局所平衡分布

動座標系では各体積要素が静止しているように見えるので局所平衡分布は次のような形になることが予想されます。

$$
P^{LG'}_\lambda(\Gamma') = e^{-\lambda^0 \cdot \hat{h} - \Psi}
$$

$$
ただし中点は、\lambda^0 \cdot \hat{h} \equiv \int d\bm{r} \lambda^0 (\bm{r}) \hat{h}(\bm{r}, \Gamma)と定義します。
$$

ここで、$${\lambda}$$を一意に与えるために規格化定数（マシュー関数）$${\Psi}$$は凸であると仮定します。これを実験室系に変換すると

$$
\begin{aligned}
P^{LG}_\lambda(\Gamma) & =P^{LG'}_\lambda(\Gamma') = e^{-\lambda_0 \cdot \hat{h}' - \Psi} \\
&=\exp{\left[ \displaystyle -\lambda^0 \cdot \left( \hat{h} - \hat{\pi}^a u^a + \frac{1}{2} \hat{\rho} u^2 \right) - \Psi \right]} \\
& \equiv e^{\lambda^\alpha  \cdot \hat{C}^\alpha - \Psi }
\end{aligned}
$$

とでき、この時$${\lambda^\alpha}$$は次のように与えられます。

$$
\begin{aligned}
\lambda^a & = - u^a \lambda^0\\
\lambda^4 & =  \frac{1}{2} u^2 \lambda^0
\end{aligned}
$$

熱力学エントロピーと逆温度場

局所平衡分布の形から明らかなように、$${\lambda^0}$$は逆温度に対応する概念ですが、逆温度そのものであるとは限りません。

$$
S(C)= \inf_\lambda[\lambda^\alpha \cdot C^\alpha + \Psi(\lambda)]
$$

によって与えられる汎関数$${S}$$を場の勾配$${\partial^a \lambda^\alpha \simeq O(\epsilon)}$$で$${S=S^{(0)}+S^{(1)}+\dots}$$と展開した時に$${S^{(0)}}$$は場の勾配に依存しないので

$$
S^{(0)} \equiv \int d^3 \bm{r} s_{\rm th}(h'(\bm{r}),\rho(\bm{r}))
$$

と空間積分の形にすることができます。ここで得られた$${s_{\rm th}}$$を熱力学におけるエントロピー密度とみなすと熱力学関係式

$$
\begin{aligned}
\beta(\bm{r}) & = \frac{ \delta s_{\rm th}(h',\rho)}{ \delta h'(\bm{r}) } \\
\mu(\bm{r}) & = - \frac{1}{\beta} \frac{ \delta s_{\rm th}(h',\rho)}{ \delta \rho(\bm{r}) }
\end{aligned}
$$

および、

$$
\lambda^\alpha (\bm{r}) = \frac{ \delta S(C) }{ \delta C(\bm{r})}
$$

より

$$
\begin{aligned}
\lambda^0 & = \beta + O(\epsilon^2) \\
\lambda^a & = \beta u^a + O(\epsilon^2) \\
\lambda^4 & = -\beta \mu + \frac{1}{2} \beta u^2 + O(\epsilon^2)
\end{aligned}
$$

が得られます。（以降、$${\epsilon^2}$$のオーダーは無視します。）

摂動展開

ここで得られた局所平衡分布を初期条件$${P_0(\Gamma) = P^{LG}_\lambda(\Gamma)}$$とし、任意の時刻$${t}$$における$${P_t(\Gamma)=P_{\lambda_t} e^{\hat{\Sigma}_t}}$$の期待値を

$$
\begin{aligned}
{J}^{\alpha a} & = \left \langle \hat{J}^{\alpha a} \right \rangle_t  \\
& = \left \langle \hat{J}^{\alpha a} e^{\hat{\Sigma}_t} \right \rangle_{\lambda_t} \\
& = \left \langle \hat{J}^{\alpha a} \right \rangle_{\lambda_t} + \left \langle \hat{J}^{\alpha a} \hat{\Sigma}_t \right \rangle_{\lambda_t} + O(\epsilon^2)
\end{aligned}
$$

と展開すると0次の項$${J^{\alpha a(0) }=\left \langle \hat{J}^{\alpha a}   \right \rangle_{\lambda_t}}$$がオイラー方程式に、一次までの項$${J^{\alpha a (0)}+J^{\alpha a (1)}=\left \langle \hat{J}^{\alpha a} \right \rangle_{\lambda_t} + \left \langle \hat{J}^{\alpha a} \hat{\Sigma}_t \right \rangle_{\lambda_t}}$$が散逸ありの流体方程式に対応します。以下、これを示していきます。

オイラー方程式の導出

局所平衡分布におけるカレントの一般形

まず最初に動座標系における時間反転変換$${\Gamma' \rightarrow \Gamma'^\dagger}$$を考えます。これは

$$
\begin{aligned}
& \bm{r}'_i \rightarrow \bm{r}'^\dagger_i=\bm{r}'_i \\
& \bm{p}'_i \rightarrow \bm{p}'^\dagger_i=-\bm{p}'_i
\end{aligned}
$$

という変換であり、この変換のもとで動座標における保存量とカレントは含まれている$${p'}$$の個数に注目すれば

$$
\begin{aligned}
& \hat{h}'^{\dagger} = \hat{h}' \\
& \hat{\pi}'^{\dagger a } = -\hat{\pi}'^{ a }  \\
& \hat{\rho}'^{\dagger } = \hat{\rho}' \\
& \hat{J}'^{\dagger 0 a } = - \hat{J}'^{ 0 a } \\
& \hat{J}'^{\dagger a b } = \hat{J}'^{a b } \\
& \hat{J}'^{\dagger 4 a } = - \hat{J}'^{ 4 a }
\end{aligned}
$$

となることがわかります。また局所平衡分布は

$$
P^{LG'}(\Gamma'^\dagger) = e^{-\lambda_0 \cdot \hat{h}'^{\dagger} - \Psi} =  e^{-\lambda_0 \cdot \hat{h}' - \Psi} = P^{LG'}(\Gamma')
$$

と変換され、相体積は$${d \Gamma'^{\dagger} = d \Gamma'}$$となります。

また、同様に運動量のある1成分だけ反転させる変換

$$
\begin{aligned}
& p'^a_i \rightarrow p'^{\dagger a}_i =-p'^a_i  \\
& p'^b_i \rightarrow p'^{\dagger b}_i = p'^b_i \quad (b \neq a)
\end{aligned}
$$

や、運動量の各成分をサイクリックに移し替える変換

$$
\begin{aligned}
& p'^a_i \rightarrow p'^{\dagger a}_i =p'^b_i  \\
& p'^b_i \rightarrow p'^{\dagger b}_i = p'^c_i  \\
& p'^c_i \rightarrow p'^{\dagger c}_i = p'^a_i
\end{aligned}
$$

を考えると、カレントは任意のスカラー場$${\phi(\bm{r})}$$を用いて

$$
\begin{aligned}
& \left \langle \hat{J}'^{0 a } \right \rangle_\lambda = 0 \\
& \left \langle \hat{J}'^{ a b } \right \rangle_\lambda = \phi \delta^{ab} \\
& \left \langle \hat{J}'^{4 a } \right \rangle_\lambda = 0
\end{aligned}
$$

と書けることがわかります。次はこの$${\phi}$$がどのような式であるかを計算します。

熱力学関係式による重要な公式

ここでは$${\phi}$$を定める上で重要な公式

$$
(\partial^a \lambda^\alpha) \cdot \left \langle \hat{J}^{\alpha a} \right \rangle^{LG}_{\lambda} = - (\beta \partial^b u^\alpha) \cdot \left( \left \langle \hat{J}'^{a b} \right \rangle^{LG}_{\lambda} - p \delta^{ab} \right)
$$

を導きます。ここで

$$
\begin{aligned}
& \nu \equiv \beta \mu \\
& \psi \equiv \beta p = s_{\rm th} - \beta h' +\nu \rho
\end{aligned}
$$

と定義すると熱力学より

$$
d \psi = -h' d \beta + \rho d \nu
$$

となり、次の関係式が得られます。

$$
\begin{aligned}
& \left( \frac{\partial p}{\partial \beta} \right)_\nu = -\frac{h' + p}{\beta} \\
&  \left( \frac{\partial p}{\partial \nu} \right)_\beta = -\frac{\rho}{\beta}
\end{aligned}
$$

ここで、$${\hat{\Delta}^a = \hat{\Delta}'^a}$$であり、かつ速度場は時間反転変換で$${u \rightarrow -u}$$と変換され、$${\hat{\Delta}}$$には$${u}$$が奇数個（１つ）含まれるので

$$
\hat{\Delta}^a(\Gamma'^\dagger) = - \hat{\Delta}^a(\Gamma') \Rightarrow \left \langle \hat{\Delta} \right \rangle ^{LG}_\lambda = 0
$$

が得られます。さらに、$${\left \langle \hat{\pi}'^a \right \rangle ^{LG}_\lambda= \left \langle \hat{J}'^{4 a} \right \rangle^{LG}_\lambda = 0 }$$から

$$
\left \langle \hat{\pi}^a \right \rangle^{LG}_\lambda =
\left \langle \hat{\rho} \right \rangle^{LG}_\lambda u^a
$$

となります。したがって、

$$
\begin{aligned}
& \left \langle \hat{J}^{0 a} \right \rangle^{LG}_\lambda = 
\left \langle \hat{J}'^{ab} \right \rangle^{LG}_\lambda u^b  +
\left \langle \hat{h} \right \rangle^{LG}_\lambda u^a  \\
& \left \langle \hat{J}^{ab} \right \rangle^{LG}_\lambda =
  \left \langle \hat{J}'^{ab} \right \rangle^{LG}_\lambda +
\left \langle \hat{\rho} \right \rangle^{LG}_\lambda u^a u^b
\end{aligned}
$$

が得られます。したがって、$${(\partial^a \lambda^\alpha) \cdot \left \langle \hat{J}^{\alpha a} \right \rangle^{LG}_{\lambda}}$$に代入すると

$$
\begin{aligned}
(\partial^a \lambda^\alpha) \cdot \left \langle \hat{J}^{\alpha a} \right \rangle ^{LG}_{\lambda} & =
 (\partial^a \beta) u^a  \cdot \left \langle \hat{h}-\frac{1}{2} u^2 \hat{\rho} \right \rangle^{LG}_{\lambda} - (\partial^a \nu) \cdot \left \langle \rho \right \rangle^{LG}_\lambda u^a - \beta \partial^a u^b \cdot  \left \langle \hat{J}'^{ab} \right \rangle^{LG}_\lambda \\
& = u^a (h' \cdot \partial^a  \beta - \rho \cdot \partial^a \nu ) - \beta \partial^a u^b J'^{ab} \\
& = -u^a \cdot \partial^a \psi - \beta \partial^a u^b J'^{ab} \qquad(第一項を部分積分し、\psi=\beta pを代入すると)\\
& = -(\beta \partial^b u^a ) \cdot (J'^{ab}-p \delta^{ab}) \\
(ただし&二段目以降は平均の記号\left \langle \dots \right \rangleを省略した。)
\end{aligned}
$$

となり、最初の式が得られました。

φの意味＝圧力

$${\partial_t \int d \Gamma P_t(\Gamma) = 0}$$より

$$
(\partial^a \lambda^\alpha) \cdot \left \langle \hat{J}^{\alpha a} \right \rangle ^{LG}_{\lambda}  = 0
$$

が得られます。よって

$$
\beta \partial^a u^a \cdot (\phi - p) = 0
$$

が導かれますが、この式は任意の$${u}$$に対して恒等的に成立するので

$$
\phi(\bm{r}) = p(\bm{r})
$$

となり、$${\phi}$$が圧力であることがわかります。

オイラー方程式

これまでの結果をまとめると（平均の記号を省略して）

$$
\begin{aligned}
& J'^{0 a } = J'^{0 a } - p u^a - hu^a = 0 \\
& J'^{ a b }=J^{ab} -u^a u^b \rho = p  \delta^{ab}  \\
& {J}'^{4 a } = J^{4a} - \rho u^a  = 0
\end{aligned}
$$

となります。よって次の関係式

$$
\begin{aligned}
J^{0 a} & = (p+h)u^a \\
J^{a b} & = p \delta^{ab} + \rho u^a u^b \\
J^{4 a} & = \rho u^a = \pi^a
\end{aligned}
$$

が得られます。これと連続方程式

$$
\partial_t C^\alpha + \partial_a J^{\alpha a} =0
$$

を組み合わせるとオイラー方程式

$$
\begin{aligned}
(ここでD_t  \equiv \ &\partial_t + u^a \partial^a とおくと) \\[8pt]
D_t \rho & = -\rho (\partial^a u^a) \\  
\rho D_t u^a & = -\partial^a p \\
D_t h' & =-(h'+p)(\partial^a u^a)
\end{aligned}
$$

が導出できました。

散逸ありの流体方程式の導出

カレントの摂動展開の一次である

$$
J^{\alpha a (1)}=\left \langle \hat{J}^{\alpha a} \hat{\Sigma}_t \right \rangle_{\lambda_t}
$$

は$${J^{\alpha a (1)}=O(\epsilon)}$$なので、オイラー方程式を用いて近似した$${\hat{\Sigma}^{(1)}_t}$$を用いて計算してもオーダー的にOKです。したがって、ここでは

$$
J^{\alpha a (1)}=\left \langle \hat{J}^{\alpha a} \hat{\Sigma}^{(1)}_t \right \rangle_{\lambda_t}
$$

を計算します。

事前準備

任意の関数$${f(h',\rho)}$$の微分に対して、オイラー方程式と熱力学関係式より

$$
\begin{aligned}
(g \equiv \left( \frac{ \partial f}{\partial h'} \right)_\rho \left( \frac{\partial p}{\partial \beta} \right)_\nu & - \left( \frac{ \partial f}{\partial \rho} \right)_{h'} \left( \frac{\partial p}{\partial \nu} \right)_\beta と書くと) \\[4pt]
D_t f & = (\partial^a u^a) g \beta
\end{aligned}
$$

が成立します。ここで$${f=\beta,\nu}$$とおくとマクスウェル関係式

$$
\left( \frac{\partial \beta}{\partial \rho} \right)_{h'} = - \left( \frac{\partial \nu}{\partial h'} \right)_\rho
$$

より次の二本の等式が得られます。

$$
\begin{aligned}
D_t \beta = & \beta \left( \frac{\partial p}{\partial h'}\right)_\rho (\partial^a u^a) \\
D_t \nu =& -\beta \left( \frac{\partial p}{\partial \rho}\right)_{h'} (\partial^a u^a)
\end{aligned}
$$

更に

$$
\begin{aligned}
\lambda^0 & = \beta  \\
\lambda^a & = \beta u^a \\
\lambda^4 & = -\beta \mu + \frac{1}{2} \beta u^2
\end{aligned}
$$

より、

$$
\begin{aligned}
&(\partial^a \lambda^\alpha)\cdot \hat{J}^{\alpha a}  = (\partial^a \beta) \cdot (\hat{J}^{0a} - u^b \hat{J}^{ba} + \frac{u^2}{2} \hat{\pi}^a)  \\
 & \qquad \qquad \qquad - (\partial^a \nu) \cdot \hat{\pi}^a + (\beta \partial^a u^b)\cdot (\hat{\pi}^a u^b - \hat{J}^{ba})  \\
& \qquad \qquad \qquad　(動座標系での物理量に変換すると)\\　
& = (\partial^a \beta) \cdot (\hat{J}'^{0a} + \hat{h}' u^a) - (\partial^a \nu)\cdot (\hat{\pi}'^a + \hat{\rho}u^a) - (\beta \partial^a u^b) \cdot (\hat{J}'^{ba} + \hat{\pi}'^b u^a)
\end{aligned}
$$

と、

$$
\begin{aligned}
&(\partial_t \lambda^\alpha) \cdot \hat{C}^\alpha = (\partial_t \beta) \cdot (\hat{h} - u^a \hat{\pi}^a + \frac{u^2}{2} \hat{\rho}) - (\partial_t \nu) \cdot \hat{\rho} - (\beta \partial_t u^a) \cdot \hat{\pi}'^a  \\ 
&\qquad \qquad  (オイラー方程式と熱力学等式より)\\
&= (\partial_t \beta) \cdot \hat{h}' - (\partial_t \nu) \cdot \hat{\rho} + \left(-\frac{h'+p}{\rho}(\partial^a \beta) +\partial^a \nu + \beta u^b \partial^b u^a \right) \cdot \hat{\pi}'^a
\end{aligned}
$$

が得られます。これで準備が終わったので本題に戻ります。

Σ_t（エントロピー生成）の表式

定義より、$${\delta \hat{A}_s(\Gamma_{s-t}) \equiv \hat{A}(\Gamma_{s-t})-\left \langle \hat{A} \right \rangle^{LG}_{\lambda_s}}$$とすると

$$
\begin{aligned}
\hat{\Sigma}_t & = \log \frac{P_t(\Gamma)}{P_{\lambda_t}(\Gamma)} =  \log \frac{P_\lambda(\Gamma_{-t})}{P_{\lambda_t}(\Gamma)} \\
& = \int^t_0 ds  [(\partial^a \lambda^\alpha_s) \cdot \delta \hat{J}^{\alpha a}_s   + (\partial_s \lambda^\alpha_s) \cdot \delta\hat{C}^\alpha_s ]
\end{aligned}
$$

と表すことができます。したがって

$$
\begin{aligned}
&(\partial^a \lambda^\alpha_s) \cdot \delta \hat{J}^{\alpha a}_s   + (\partial_s \lambda^\alpha_s) \cdot \delta\hat{C}^\alpha_s \\
= & (\partial^a \beta) \cdot \hat{J}'^{0a} - (\beta \partial^a u^b) \cdot \delta \hat{J}'^{ba} + (D_t \beta)\cdot \delta \hat{h}' -(D_t \nu) \cdot \delta \hat{\rho} - \frac{h'+p}{\rho}(\partial^a \beta )\cdot \hat{\pi}'^a \\
= & \partial^a \beta \cdot \left( \hat{J}'^{0a}- \frac{h'+p}{\rho} \hat{\pi}'^a \right) - (\beta \partial^a u^b)\cdot \left( \delta \hat{J}'^{ab} - \left\{    \left( \frac{\partial p}{\partial h'} \right)_\rho \delta \hat{h} +\left( \frac{\partial p}{  \partial \rho} \right)_{h'} \delta \hat{\rho} \right\}\delta^{ab} \right)
\end{aligned}
$$

という近似式が得られます。なので

$$
\begin{aligned}
\hat{q}^a & \equiv  \hat{J}'^{0a}- \frac{h'+p}{\rho} \hat{\pi}'^a \\
\hat{\tau}^{ab} & \equiv  \delta \hat{J}'^{ab} - \left\{    \left(  \frac{\partial p}{\partial h'} \right)_\rho \delta \hat{h} +\left( \frac{\partial p}{  \partial \rho} \right)_{h'} \delta \hat{\rho} \right\} \delta^{ab}
\end{aligned}
$$

と定義すると

$$
\begin{aligned}
\hat{\Sigma}_t = &  \int^t_0 ds  [(\partial^a \lambda^\alpha_s) \cdot \delta \hat{J}^{\alpha a}_s   + (\partial_s \lambda^\alpha_s) \cdot \delta\hat{C}^\alpha_s ] \\
 \simeq & \int_0^t ds [(\partial^a \beta_s)\cdot \hat{q}^a (\Gamma_{s-t}) - (\beta_s \partial^a u^b_s)\cdot \hat{\tau}^{ab}(\Gamma_{s-t})] = \hat{\Sigma}^{(1)}_t
\end{aligned}
$$

$\hat{\Sigma}_t$の表式が得られました。

流体方程式とGreen-Kubo公式

$${\hat{q}}$$には運動量が奇数個、$${\hat{\tau}}$$には運動量が偶数個含まれることがわかるので、例えば$${\left \langle \hat{q}^a \hat{\tau}^{ab} \right \rangle _\lambda^{LG}}$$のような量に対して

$$
\left \langle \hat{q}^a \hat{\tau}^{ab} \right \rangle_\lambda^{LG}=0
$$

ここで密度場の時間変化、空間変化が$${\hat{q}}$$や$${\hat{\tau}}$$の相関に比べて十分ゆっくり変化するとすれば、$${q^{a(1)}_t,\tau^{ab(1)}_t}$$は空間の等方性より次のように計算できます。

$$
\begin{aligned}
&q^{a(1)}_t = \kappa (\partial^a \beta_t) \\
&\tau^{ab(1)}_t = - \eta (\partial^a u^b_t + \partial^b u^a_t) - \left( \zeta - \frac{2}{3} \eta \right) \partial^c u^c_t \delta^{ab}
\end{aligned}
$$

ただし、輸送係数$${\kappa,\eta,\zeta}$$は次のGreen-Kubo公式にしたがっています。

$$
\begin{aligned}
&\kappa = \int^t_0 ds \int d^3 \bm{r}' \left \langle \hat{q}^1 (\bm{r}' ,\Gamma_{s-t}) \hat{q}^1(\bm{r},\Gamma) \right \rangle ^{LG}_{\lambda_t} \\
&\eta = \beta_t \int^t_0 ds \int d^3 \bm{r}' \left \langle \hat{\tau}^{12} (\bm{r}' ,\Gamma_{s-t}) \hat{\tau}^{12}(\bm{r},\Gamma)  \right \rangle ^{LG}_{\lambda_t} \\
&\zeta = \beta_t \int^t_0 ds \int d^3 \bm{r}' \left \langle \delta \hat{p}^a (\bm{r}' ,\Gamma_{s-t}) \delta \hat{p}^a(\bm{r},\Gamma) \right \rangle ^{LG}_{\lambda_t}\\　
&　　　　(ここで、\delta \hat{p} \equiv \tau^{aa(1)}/3とした。)
\end{aligned}
$$

したがって

$$
\begin{aligned}
&J^{0a(1)}_t = \tau^{ab(1)}_t u^b_t +q^{a(1)}_t \\
&J^{ab(1)}_t = \tau^{ab(1)}_t
\end{aligned}
$$

が得られます。

これと連続方程式$${\partial_t C^\alpha + \partial_a[J^{\alpha a (0)}_t + J^{\alpha a (1)}_t]=0}$$を組み合わせたものが流体方程式となります。

また、$${J^{4a(1)}_t=0}$$を満たす場合、これはナビエ・ストークス方程式となります。