「『きこつ』が折れる」？

「気骨」には、「きこつ」と「きぼね」の2つの読みがあり、読み方によって意味が変わってきます。

音読みで「きこつ」と読む場合は、不屈の精神、気概といった意味になります。

「きぼね」と重箱読み（熟語を音訓の順で読むこと）すると、心づかい、気苦労の意味になります。したがって、表題の慣用句は「気骨（きぼね）が折れる」となります。