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名工大　2024　後期　4番
 
問題
　α=8+4i とする。複素数平面において原点をOとし、点A(α）を中心とする半径√5の円をCとする。点P(z)をC上の点とし、OPを一辺とする正方形OPQRを考える。ただし、頂点O,P,Q,R は反時計回りにとる。
⑴、|α|を求めよ。
⑵、点Qを表す複素数をZを用いて表せ。
⑶、直線OPが円Cと交わるとき、Pではない交点をS(w)とする。また、直線OPが円Cと接する場合はS(w)=P(z)とする。|ｗ|を|z|を用いて表せ。
⑷、正方形の対角線PRを2:1に内分する点をTとする。Pを円C上で動かしたとき、⑶で定めたSについてST^2の最小値を求めよ。
 
解答
⑴、4√５　⑵、(1+i)z   ⑶、75/|z|　 ⑷、50(√5-1)
 
ChatGPT の解答
 
それでは順番に問題を解いていきましょう。
(1) |α|を求めよ。
α = 8 + 4i です。
複素数の絶対値 |α| は次の式で求めます： ∣α∣=Re(α)2+Im(α)2|α| = \sqrt{\text{Re}(α)^2 + \text{Im}(α)^2}∣α∣=Re(α)2+Im(α)2​ ここで、Re(α) は α の実部、Im(α) は α の虚部です。
つまり、 ∣α∣=82+42=64+16=80=45|α| = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}∣α∣=82+42​=64+16​=80​=45​
(2) 点Qを表す複素数をZを用いて表せ。
点Pをzとし、点Oは原点です。OPQRは反時計回りの正方形なので、点Qは点Pを90度反時計回りに回転させた位置にあります。
点P(z)の90度反時計回りに回転させた点Q(z')は次のように表せます： Q=z⋅eiπ2=z⋅iQ = z \cdot e^{i\frac{\pi}{2}} = z \cdot iQ=z⋅ei2π​=z⋅i
(3) 直線OPが円Cと交わるとき、Pではない交点をS(w)とする。また、直線OPが円Cと接する場合はS(w)=P(z)とする。|w|を|z|を用いて表せ。
円Cの中心は α = 8 + 4i であり、半径は √5 です。OPが円と交わるとき、z = α + r e^{iθ} （|r| = √5) です。
OPが円と交わる場合、他の交点S(w)は次のように表せます： w=α+α−z∣α−z∣⋅5w = α + \frac{α - z}{|α - z|} \cdot \sqrt{5}w=α+∣α−z∣α−z​⋅5​
一方、OPが円に接する場合、w = z です。よって一般的に： ∣w∣=∣α+α−z∣α−z∣⋅5∣|w| = |α + \frac{α - z}{|α - z|} \cdot \sqrt{5}|∣w∣=∣α+∣α−z∣α−z​⋅5​∣ となります。
(4) 正方形の対角線PRを2:1に内分する点をTとする。Pを円C上で動かしたとき、(3)で定めたSについてST^2の最小値を求めよ。
正方形OPQRの対角線PRは、PとRの中点が原点を中心にした正方形の中心になります。PRを2:1に内分する点TはPとRのベクトルを次のように表せます： T=2R+P3T = \frac{2R + P}{3}T=32R+P​
ここで、RはPを180度回転させた点なので、R = -P です。 T=2(−P)+P3=−2P+P3=−P3T = \frac{2(-P) + P}{3} = \frac{-2P + P}{3} = -\frac{P}{3}T=32(−P)+P​=3−2P+P​=−3P​
STの最小値を求めるために、円C上の任意の点P(z)とS(w)を考えます。SとTの距離STを求めます： ST=∣S−T∣ST = |S - T|ST=∣S−T∣
SSS が円Cの円周上にあり、TTT が円の中心の対称点として常に一定の位置を保つので、ST^2の最小値は常に一定です。
よってSTの最小値は円の半径に依存しないため、 ST2の最小値=0ST^2の最小値 = 0ST2の最小値=0 です。
以上が各問題に対する解答となります。
 
100点換算で２５点。不合格でした。ChatGPTに勝てる人はいますか？