メモ：サイクロイドの件

$${{(\frac{\Pi}{3},0)}}$$を通る直線の方程式を考える。
この傾きをmとするとその直線の式は
$${{y = m(x- \frac{\Pi}{3})}}$$
となる。

この直線が
$${{x = α-sinα}}$$
$${{y = 1-cosα}}$$
を通るならば傾きmは
$${{m= \frac{0-1+cosα}{\frac{\Pi}{3} - α +sinα}}}$$
ということは、これが法線あるならば、接線の傾きは
$${{-\frac{1}{m} = \frac{\frac{\Pi}{3} - α +sinα}{1-cosα}}}$$

また
$${{\frac{dy}{dx}=\frac{sinθ}{1-cosθ}}}$$より、次の式が成り立つ。

$${{ \frac{sinα}{1-cosα} =\frac{\frac{\Pi}{3} - α +sinα}{1-cosα}  }}$$

よって
$${{ sinα =\frac{\Pi}{3} - α +sinα }}$$

$${{ α=\frac{\Pi}{3} }}$$

あとは

$${{m= \frac{0-1+cosα}{\frac{\Pi}{3} - α +sinα}}}$$

に$${{ α=\frac{\Pi}{3} }}$$を代入すれば

$${{m=-\frac{1}{\sqrt{3}}}}$$

よって法線の式は
$${{y=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-\frac{\Pi}{3})}}$$