書記が数学やるだけ#324 弧状連結

連結よりも強い条件である弧状連結について。

問題

説明

凸であることがありがたいケースも多い。

弧状連結とは，ざっくり言うと任意の2点が道によって結べることをいう。

解答

線分は連結である。これは射影との合成写像の連続性により示す。

それがわかると，ユークリッド空間が連結であることがすぐにわかる。

弧状連結であることの証明の例。

連結だが弧状連結でないものの例として，位相幾何学者の正弦曲線を取り上げる。

まず連結であること。

弧状連結でないこと。2通りの数列を取ってきて収束が一致しないことから矛盾を示す。

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