書記が数学やるだけ#55 内積と計量線形空間，三角不等式とコーシーシュワルツの不等式

今回からは，複素数を含むベクトルについて扱う。

問題

複素数に対しても内積を定義できる。

説明

内積について，複素数のベクトルを含めて定義される。共役複素数について，虚部の符号が反転する点に注意。

改めて，ノルムと自然内積の定義。

内積の定義されたC上のベクトル空間を，計量線形空間という。これは，フーリエ解析や量子力学などの基礎として重要である。

内積に関連した不等式として，三角不等式とコーシーシュワルツの不等式が重要。

コーシーシュワルツの不等式には，様々な派生形がある。

解法

複素数ベクトルの内積，ノルムを計算する。

三角不等式の証明は，内積の定義を用いることでできる。

コーシーシュワルツの不等式の証明について，単純に2乗する方法と，判別式を用いる方法がある。

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