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書記が数学やるだけ#451 弧長パラメータの導出

曲率の性質を示すには,弧長パラメータが便利である。


問題

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説明

以後,特に断りのない場合は正則曲線を前提とする。

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弧長パラメータは,長さを1としたものである。

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任意の正則曲線は,パラメータの取り替えにより弧長パラメータをとることができる」ことから,曲率などの性質を考える際に弧長パラメータを用いればよいことが言える。

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解答

パラメータの取りかえは合成関数の微分に対応する。

数学やるだけ解答#451_page-0001


実際に弧長パラメータを求めてみる。まずは正則曲線であることの確認。

数学やるだけ解答#451_page-0002


これはsinhθに変換する形である。

数学やるだけ解答#451_page-0003


最後,逆関数t(s)の式を具体的に求めてないが,これはあまりに難しすぎるため。

弧長パラメータは,多くの場合元の式よりも複雑になるので,具体的な計算ではあまり用いられない。

数学やるだけ解答#451_page-0004


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