書記が数学やるだけ#150 近傍，開集合と閉集合-1 定義

位相空間論において重要な概念である「近傍」「開集合「閉集合」について，まずは定義をなぞるところから始める。

問題

特に，開集合とは何なのかを捉えていく。

説明

前回定義した「開球」について前提とする：

近傍とは局所的（ローカル）な概念である。

開集合の定義は重要である。

閉集合。ここで，開と閉は互いに排他的ではないことに注意。

解法

開集合の定義に従っていることを確認する。

これは図を書くとわかりやすくなる。

「開集合の任意個の和集合も開集合である」ことの証明。

では共通部分はどうか，無限個の共通部分は0だけを含む集合となるため，開集合ではなくなる（有限個ならば開集合である）。

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