書記が数学やるだけ#815 測度の構成

測度について基本事項を整理しておく。

問題

説明

測度とは面積，体積，個数といった「大きさ」に関する概念を一般化したものであり，「空集合の測度は0，可算加法性を満たす」関数である。また，重要な性質として，単調性・可算劣加法性・増大列連続性・減少列連続性が挙げられる。

すべての零集合の部分集合が（測度ゼロとなって）可測であるように完備化することで，完備測度が定義できる。

測度の具体例として，ルベーグ測度の性質を以下に示す。

確率を厳密化するには，確率測度が重要である。これは「値が0~1，完全加法性を満たす」関数と言える。

解答

測度の性質について，まず単調性・可算劣加法性を示す。

増大列連続性は上に示した可算劣加法性から示すことができる。減少列連続性については，μ(E1)<∞という条件が必要である。

閉区間 [a, b] の1次元ルベーグ測度は b − a であることから，1点・可算集合のルベーグ測度は0であることが示せる。

カントール集合は，非可算集合でルベーグ測度0となる例である。

最後に測度の完備化について，σ-加法族の定義を改めて思い出しておく。

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