書記が数学やるだけ#282 開集合・閉集合とε近傍

開集合・閉集合とε近傍を結びつけていく。

問題

説明

開集合・閉集合を境界で示す場合。

重要なのは，ε近傍との結びつきである。簡単に言えば，ε近傍はローカルな概念，開集合はグローバルな概念である。

解答

開集合とε近傍について，仮定から詰めていく。

閉集合については，X-Aが開集合であることから容易に示せる。

具体例について。あらかじめ境界を求めておくか，直接定義から示すか。

(3)は，開集合でも閉集合でもないパターン。後日，開集合かつ閉集合であるパターンを紹介する。

実数Rについて，有理数・無理数の稠密性より，有理数・無理数の境界は実数そのものである。

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