書記が数学やるだけ#637 基本的な時系列モデルの推測

実際のデータから時系列モデルを推測してみる。

問題

データは前回と同じものを用いる。

説明

自己回帰と移動平均を合わせたARMAモデルは，時系列モデルの基本として用いられる。さらに，差分系列を用いるARIMAモデル，季節周期を加えたSARIMAモデルなどと応用を広げることができる。

モデルの同定は，大まかには以下の手順を辿る。

トレンドを含むデータでは，差分を取ることで定常となるものもある（単位根過程）。

単位根の有無を判定するにはいくつかの検定があり，この結果を踏まえて差分を取るかどうかを決めていく。

解答

ARMAモデルの次数については，AICが最小になるものを選ぶことにする。モデルが複雑になりすぎないよう，ここでは各次数を3までとしている。

#自動ARMAパラメータ推定関数
res_selection = sm.tsa.arma_order_select_ic(ts, ic='aic', max_ar=3, max_ma=3, trend='nc')
res_selection

するとこの中ではARMA(3,3)が最適と判断できる。

ARMA(3,3)の各係数を推定することでモデルを作ることができる。

#ARMAモデル
arma_model = sm.tsa.ARMA(ts, order=(3,3))
arma_result = arma_model.fit()
arma_result.summary()

しかしこれはうまくいかない。元のデータに対する当てはまりはいいが，予測となるとかなり怪しい。

#ARMAモデルの2年後の予想
arma_pred = arma_result.predict('1951-01', '1962-12') 

plt.figure(figsize=(8, 4))

plt.plot(ts, label="original")
plt.plot(arma_pred, c="r", label="arma_pred", alpha=0.7)
plt.legend(loc='best')

コレログラムを再掲，自己相関があり非定常であることが予想できる。

fig = plt.figure(figsize=(8, 8))

#自己相関(ACF)のグラフ
ax1 = fig.add_subplot(211)
sm.graphics.tsa.plot_acf(ts, lags=40, ax=ax1)

#偏自己相関(PACF)のグラフ
ax2 = fig.add_subplot(212)
sm.graphics.tsa.plot_pacf(ts, lags=40, ax=ax2)

plt.tight_layout()

例えばADF検定を行ってみると，帰無仮説「単位根あり」が棄却できないことから，次に差分系列（ARIMAモデル）を試すことにする。

#ADF検定（原系列）
dftest = sm.tsa.adfuller(ts)
print('ADF Statistic: %f' % dftest[0])
print('p-value: %f' % dftest[1])

ADF Statistic: 0.815369
p-value: 0.991880

ARIMAモデルを作るために，上と同様に次数を決める。

#ARIMAの次数推定
res_selection = sm.tsa.arma_order_select_ic(delts, ic='aic', max_ar=3, max_ma=3 ,trend='nc')
res_selection

#ARIMAモデル
arima = sm.tsa.SARIMAX(passengers,
order=(3, 1, 3),
seasonal_order=(0, 0, 0, 0),
enforce_stationarity = False,
enforce_invertibility = False
).fit()

arima.summary()

しかしこれもうまくいかない。

残差の自己相関を見ると1年ごとに周期が見られるので，これを除去したSARIMAモデルを次に考える（コードは上とほぼ同様のため省略）。

#SARIMAモデル
sarima = sm.tsa.SARIMAX(passengers,
order=(3, 1, 3),
seasonal_order=(1, 1, 1, 12),
enforce_stationarity = False,
enforce_invertibility = False
).fit()

sarima.summary()

予測の当てはまりが改善され，残差の自己相関が無くなっており、上手くいっていそうである。

実際の分析ではさらに評価すべき点はあるのだが，とりあえず今回はこのモデルを採用することとした。

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