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書記が数学やるだけ#836 極と極線,調和点列
極と極線および調和点列について一般化を行う。
問題
①は円について極と極線および調和点列を考える,2006年の神戸大では放物線が出題された。
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説明
二次曲線に2本の接線を引き,接線の交点を極,接点同士を結んだ直線を極線という。
![](https://assets.st-note.com/img/1711871759537-cYGceBgcK9.png?width=1200)
複比が-1の場合を,特に調和共役という。
![](https://assets.st-note.com/img/1711871858728-3nC8bWqCAu.png?width=1200)
解答
極線の方程式を導出するには,接線の方程式を考えればよい。
![](https://assets.st-note.com/img/1711871957445-tidU10PAPC.jpg?width=1200)
本題は以下の等式で,以下の場合においてベクトル方程式を考える。
![](https://assets.st-note.com/img/1711872009678-qT4b2T0Aaf.png?width=1200)
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式変形により調和点列であることがわかる。
![](https://assets.st-note.com/img/1711872102431-xdp2fHOkK1.jpg?width=1200)
以上のことを二次曲線に一般化するために,接線・極線の式を導出しておく。
![](https://assets.st-note.com/img/1711872120828-hAzY4QtRFi.jpg?width=1200)
交点の斉次座標から複比が-1であることが求められ,調和点列であることが示せた。
![](https://assets.st-note.com/img/1711872160376-R28QIld106.jpg?width=1200)
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