書記が数学やるだけ#655 群の作用，軌道

群論について，今回から群の作用に焦点を当ててみていく。

問題

基本用語の確認から。

説明

集合に群をかけることを示した写像を作用と呼ぶ。実は今までも作用に関する事項を扱っていたが（剰余類など）以後は作用と明記することにする。

準同型について，ここでは自身への作用についてまとめた。共役による作用は後日扱う。

重要な概念である軌道・推移性・固定化部分群について。

基本領域はモジュラー群を考えるときにまた説明する。

解答

2つの軌道は相異なることから，軌道分解が成立する。

固定化部分群について。

簡単な具体例として回転群SO2の作用について。まずは作用であることの確認。

G軌道と固定化部分群を定義から求める。これらは図示するとわかりやすい。

基本領域の簡単な例として，ユークリッドの運動群について扱う。

[0,1]×[0,1]の正方形で敷き詰められることを示せば良い。

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