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書記が数学やるだけ#450 曲率に関する入試問題

今回から微分幾何学について扱うことにする,まずは関連する入試問題から。


問題

入試問題では,曲率を暗示した計算問題が少なくない。

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説明

曲率において,円の半径によりその曲がり具合を測る。

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解答

問題の大半は,基本的な図形の処理である。

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これより,n=1の場合のみ収束し,それ以上では発散することがわかる。この結果は,y=x^2の原点での曲率半径が1/2であり,y=x^n(n2以上)については∞であることに対応している。

数学やるだけ解答#450_page-0002


y=x^2は原点では半径1/2の円で近似できるともいえる。

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②について,速度ベクトルvと加速度ベクトルaの関係のイメージ。ここで,vの長さが1になっていることに注意。

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これらはパラメータ表示の微分を行うことで得られる。

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