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書記が数学やるだけ#647 クリストッフェル記号,共変微分
テンソルの微分を考えるために必要な道具を揃えていく。
問題
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説明
クリストッフェル記号は,測地線の微分方程式を示すために導入された。
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テンソルについて微分を考えたいところだが,普通の常微分ではテンソルとならないことがあり不都合である。
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これを補正するために,クリストッフェル記号を用いた共変微分を定義する。
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解答
まず第一種クリストッフェル記号を計算する。
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第二種クリストッフェル記号の計算。参考まで極座標での計算も示しておく。
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これを定義通りに計算するのは大変なので,計量テンソルの対称性から簡略化できるところはしていく。
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今後は逆にクリストッフェル記号から方程式を導出する。難しく見える項は条件より大半が消えてくれるので,後は微分方程式の計算に帰着する。
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共変微分がテンソルであることを示しておく。
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