書記が数学やるだけ#163 コンパクト性

点列コンパクトから，一般のコンパクトに拡張する。

問題

これも以前の復習を含む。

説明

コンパクトとは，有限個からなる部分被覆の存在から言える概念である（ハイネ・ボレルの被覆定理に基づく）。

解説

ハウスドルフ空間について。

閉区間はコンパクトである。同じ要領で，閉直方体はコンパクトであることが示せる。

連続写像とコンパクトの関係。

有限閉集合とコンパクトは同値である。

コンパクトから有界閉集合を示すのが大変で，いずれも対偶を示す。

ここまでの知識を総動員して，最大値定理を示す。

ひとまず位相空間の流れを把握することができた。次に触れる際は，さらなる具体例について見ていくのと，多様体へとつながりを持てるよう，学習を進めていきたい。

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