書記が数学やるだけ#506 定幅曲線，ルーローの三角形

定幅曲線の例であるルーローの三角形について。

問題

説明

定幅曲線は，マンホールやお掃除ロボットなどに応用されている。

解答

面積の計算は容易だろう。なお，ルーローの三角形は周長が同じ図形の中で面積が最小である（Blanche-Lebesgueの定理）。

一方で以下の問題は入試では奇問の部類だろう，とにかく軌跡が思いつかないとどうしようもない。

まず，π/3までの範囲ではサイクロイドである。これは円を転がすのと同じであることからわかる。

実際に計算して示す。

これ以降の軌跡は以下の通り。ちなみにこれを答えさせる問題が中学・高校入試で前例がある（2018海陽中，2021北海道公立高校）。

一回転するとx軸上に戻ってくる。

軌跡はサイクロイド→円弧→直線へと変化し，あとは対称的な変化である。

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