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書記が数学やるだけ#749 円分多項式の性質,円分多項式による相互法則の証明
円分拡大を見るにあたって,円分多項式の性質を振り返っておく。
問題
![](https://assets.st-note.com/img/1690495739295-rBBL4GwrPG.png?width=800)
説明
円分多項式について:
![](https://assets.st-note.com/img/1690495771889-pPqZiuMYhz.png?width=800)
平方剰余の相互法則について,以前は整数論で扱った:
![](https://assets.st-note.com/img/1690495829570-fyoIgnVheO.png?width=800)
平方剰余の相互法則の別解として,円分多項式から派生したガウス和を用いて証明していく。
![](https://assets.st-note.com/img/1690495900305-JLGWFjgcZe.png?width=800)
解答
1の原始n乗根との関係について。
![](https://assets.st-note.com/img/1690495978891-kYM62Yb6d2.jpg?width=800)
円分多項式について,本式はx^n-1の因数分解を与える。
![](https://assets.st-note.com/img/1690496011587-mArM6dvYCs.jpg?width=800)
列挙して予想される通り,円分多項式はモニックな整数係数多項式である。
![](https://assets.st-note.com/img/1690496075896-KLAUSrvPbv.jpg?width=800)
さらにZ[T]上で既約であることが言える,これは後々に便利な性質である。
![](https://assets.st-note.com/img/1690496095840-zzSJaTOYSO.jpg?width=800)
![](https://assets.st-note.com/img/1690496159111-jkFc8Y0aME.jpg?width=800)
平方剰余の相互法則について,第1法則はζ4,第2法則はζ8を用いて簡単に証明できる。
![](https://assets.st-note.com/img/1690496167589-FqOIkAQwuf.jpg?width=800)
ここでガウス和の性質を与えておく。
![](https://assets.st-note.com/img/1690496224271-dYXCLTvf0R.jpg?width=800)
これにより相互法則を示すことができた。
![](https://assets.st-note.com/img/1690496245430-crPYjd0gKD.jpg?width=800)
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