書記が数学やるだけ#759 格子を用いた連分数の表示

格子を用いた連分数の表示を紹介する。

問題

説明

連分数とその近似分数の性質は以前に示してきた：

以前示したディリクレの定理よりもさらに精度の良いディオファントス近似としてVahlenの定理を示していく。

解答

以下に近似分数をアルゴリズム的に作図する方法を示していく。

まず基準となるω線を引き，初項を設定する。次にx=1を引き，その線上のω線を超えない格子点をA1とする。

図では例として√2の近似分数を示す。

以降は平行線を引き，その線上のω線を超えない格子点を逐次決めることで，近似分数を求めることができる。

図を見ると，アルゴリズムは進むほどωに近づいていくのがわかる。

本問はラグランジュの定理の一表示であり，一次形式の最小化と近似分数の関係を示している。

これは作図で示すと簡単である。

Vahlenの定理も作図で示していく。

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