書記が数学やるだけ#580 ガウス素数に関する入試問題

ガウス素数については，複素数と整数の融合問題として出題されることがある。

問題

解答

いかにも複素数を代入するかにような書き方だが，それだと一気に難しくなる。ここではノルムを考えると簡単に解くことができる。

②は長文であるが，実際には文章を辿っていくだけで解ける。

(i)-(iii)の操作を1回施したものはいずれも(Q)をみたす。

ここで変化しないケースは(ii)のみで考えられ，その条件を示すことができる。

(i)-(iii)の操作を2回施すと元に戻る。よって(Q)を満たす組は奇数個あるとわかる。

もしb≠cならば(4)に矛盾するので，b=cが成り立ち，目当ての式を得る。これは，4k+1型の素数は2つの平方数の和に分解できることの別証明である。

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