書記が数学やるだけ#267 さまざまな距離関数

今回は，距離関数にも色々あることを示す。

問題

2点間の距離について。

説明

dが以下の3つの条件（距離の公理）を全て満たすとき，dはX上の距離関数である。距離空間についてはまた別の項で扱う。

代表例を挙げる。普段使うのはユークリッド距離で，そのほかにも縦横1マスと見なすマンハッタン距離や，縦横斜め1マスと見なすチェビシェフ距離がある。

これを一般化したものがミンコフスキー距離である。

解答

2点のユークリッド距離の和が等しい点の集合は，楕円である。

これに対し，マンハッタン距離とチェビシェフ距離ではどうなるかを以下に示す。

ユークリッド距離のいいところの一つに，合同変換で不変であることが挙げられる。マンハッタン距離とチェビシェフ距離ではこうはならない。

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