書記が数学やるだけ#56 正規直交基底，直交補空間

正規直交基底を考えることは，物理への応用の基礎として重要になってくる。

問題

大学入試でもシュミットの直交化法を背景とした問題が時々出てくる。ベクトルとスカラーの違いがわかっているかを見るのにちょうど良い問題。

直交補空間にまつわる基本的な問題。

説明

「互いに直交」「単位ベクトル（長さが1）」であることが大事。

正規直交基底を作るものとして，シュミットの直交化法が有名。

正射影ベクトルの定義をおさえておけば理解は難しくない。

計量ベクトル空間に対して，直交補空間が定義できる。

計量同形写像について簡単に触れておく。

解法

正射影ベクトルをどう表現するかが鍵。

シュミットの直交化法の具体例。

直交補空間について，定義に従って一つ一つ解いていく。ちなみに，本問で出てきた基底は最初から直交しているので，後は正規化するだけである。

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