書記が数学やるだけ#692 エルミートの恒等式

ガウス記号の練習問題として，エルミートの恒等式を証明してみる。

以前のガウス記号の問題：

問題

ガウス記号と数列和の複合問題を扱うことにする。

解答

①について，(1)が誘導となっている。これを示すにはガウス記号の定義を思い出し，不等式で挟む。結果として右辺はガウス記号なして表せる。

(1)の数列和をとると答えが見えてくる。ここで第2項を変形して第1項と同じであることにより，目当ての式を得ることができた。

では，京都府大の問題を通してエルミート恒等式を証明する。

(1)は具体例を計算する問題，数列和を分解するとaは6.5~6.6あたりだろうと察しがつく。ここで観察できることとして，[]内は6か7かであり，途中で6から7に切り替わる，=321になるには右21項が7であればよい，ことなどがわかる。

まず[a]を求めるには，[a]=mとおいたときに[]がmかm+1であることを示し，=321となるようにmの個数を決めればよい。これより[a]=6であることが示され，上の観察結果に合致する。

右21項が7になればよいことから不等式を立てることで，aの下2桁まで決定することができる。

(2)も誘導，ここで[b]=mのとき[b+1/2]の中身はmかm+1かになることを示し，右辺と比べることで証明ができる。

(1)(2)の考え方で，[]の中身はmかm+1，右~項がm+1となることから右辺の値が決まる，などを一般化することでエルミートの恒等式が示せる。

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