書記が数学やるだけ#30 線積分とグリーンの定理で面積を求める
ベクトル解析で重要な線積分について,具体例から見ていく。今回で一旦微分積分は終わり。
問題
線積分の応用として,(実用性は薄いかもしれないが)面積を求めるという用途がある。
公式
線積分の定義について。ここではスカラー場における線積分を考える。
実際の問題では以下のように扱う。
グリーンの定理は,線積分と重積分をつなぐものである。
ベクトル解析によく出てくるものとして,以下の定理も重要。例えば,電磁気学におけるマクスウェルの方程式において,これらが活用される。
解法
PとQの値によって,面積であることが示せる。
この図形はアステロイドである。正攻法は高校数学でよく出る方法。
グリーンの定理を用いても,面積が計算できる。
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