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書記が数学やるだけ#715 グラスマン代数の概要
外積の性質について,グラスマン代数(外積代数)から俯瞰してみる。
問題
外積の性質についていくつか確認してみる。
![](https://assets.st-note.com/img/1686533144059-KdkwWd8YPr.png?width=800)
説明
グラスマン代数(外積代数)は交代性を基本とする体系と言える。
![](https://assets.st-note.com/img/1686533174298-ygFhF3LL7o.png?width=800)
解答
グラスマン代数は双線形写像により定められる。
![](https://assets.st-note.com/img/1686533267854-A0YczgWgQ6.jpg?width=800)
まずは基本となる性質を確認する。
![](https://assets.st-note.com/img/1686533310811-1zRDIwqRI9.jpg?width=800)
これは結合則に相当する。
![](https://assets.st-note.com/img/1686533388815-9TJnXdc55H.jpg?width=800)
交代性については置換を用いて示す。
![](https://assets.st-note.com/img/1686533412507-8NniumqYo7.jpg?width=800)
最後に分配則について。
![](https://assets.st-note.com/img/1686533431900-4OHnTISXk7.jpg?width=800)
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