書記が物理やるだけ#343 格子振動，フォノン

格子振動について，統計力学から派生して考えていく。

問題

説明

格子振動について，波数ベクトルｋが０の極限で固有振動数ωが０になるようなモードを音響モード，０にならないモードを光学モードという。音響モードでは単位胞内の原子は同じ方向に変位し，光学モードでは単位胞内の隣りあう原子が反対向きに運動する。

フォノンとは結晶中における格子振動の量子であり，質量のないボース粒子である。

格子振動のモデルには，アインシュタイン模型やデバイ模型がある：

解答

まず1種類の原子から構成される1次元配列について分散関係を求める。類似の問題は以前に扱ってきた：

グラフは以下の通り。

次に2種類の原子からなる1次元配列について，ここで分散関係は音響モードと光学モードの2種類が出てくる。

グラフは以下の通り，ここで2つのモード間で格子振動が存在しないバンドギャップが生じる，これがバンド理論の基本となる。

フォノンは格子振動を量子化したものであることから，光子と同様にしてハミルトニアンが求められる。

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