書記が数学やるだけ#831 Lp空間の不等式，バナッハ空間

ルベーグ積分から関数解析への繋ぎの分野を扱っていく。

問題

説明

本質的上限・本質的下限は，上限・下限のうち零集合を除いたものであり，「ほとんど至るところで（a.e.）」で考える上で重要である。

距離の一般化によりp-ノルムが定義でき，Lp空間を考えることができる。

代表的な不等式について，距離空間および関数において成り立つことは以前にも示した：

バナッハ空間とは完備なノルム空間のことであり，関数解析で頻繁に出てくる。

　

バナッハ空間の例について，ノルムの中にはよく見慣れたものもあるだろう。

軟化子は，超関数論において滑らかな関数を作るための関数である。

ストーン・ワイエルシュトラスの定理とは，局所コンパクト空間上の連続関数の代数系における部分代数の稠密性に関する定理である。

解答

ヘルダーの不等式の証明には，積に関するヤングの公式を用いる。

ミンコフスキーの不等式を示すには，ヘルダーの不等式により不等式評価を行う。

ヤングの畳み込み不等式では，ミンコフスキー不等式を繰り返し適用する。

コーシー列に対しバナッハ空間を構成できることを示すために，fがほとんど至るところで絶対収束することを示す。

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