書記が数学やるだけ#633 差分方程式の解法

時系列分析を考える上で基礎となる差分方程式について。

問題

説明

時系列データは至る所で見られる。

差分方程式は，高校数学では漸化式と呼んでいたもので，微分方程式の離散バージョンとも言える。解を求めるのは難しいことが多いが，大体の挙動だけなら簡単に示せる。

解答

1階の差分方程式について，反復法を用いて解いてみる。

2階の差分方程式について，係数により解の発散・収束が変わる。これは後にAR過程の定常性を考える時に重要である。

特性方程式から，解の安定性を示す。

具体的な係数について解を求めてみる。

特殊解を求めるには，微分方程式と同様の未定乗数法が使える。

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