書記が数学やるだけ#275 確率変数の変換

変数変換は，後でたくさん使うことになる。

問題

①は分布関数と期待値の関係を示す。②で変数変換の練習をする。

説明

確率分布を定義する関数には以下のものがある。

キュムラント母関数は特性関数の対数であり，計算で使うことがある。

反転公式はフーリエ逆変換に相当する式で，特性関数から確率密度関数を求める。

連続性定理より，確率変数列の分布収束とそれらの特性関数の各点収束が結び付けられる。

変数変換による分布関数の形は自力で導出できるようにしておく。

具体例をいくつか挙げておく。

解答

期待値を分布関数で示す方法について。

積率母関数から各パラメータを求める。多くの場合，指数関数の処理を必要とするため，テイラー展開を駆使する。

変数変換について，まずは一般的な式を求めておく。特に星で示した式が使いやすい（Yが単調関数の場合のみ）。

例えば平方変換は単調でないため，定義式を見直すこととなる。

グラフを見れば，どのような変換か一目瞭然。

Yが単調関数の場合，逆関数を求めることで容易に変数変換できる。各パラメータを求める際に，変数変換により値域がどう変わるかを要確認。

この式は，位置尺度分布族に関与する。

ざっくり言うと，幅と位置が変化する。

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