書記が数学やるだけ#615 対称式の基本定理

対称式の扱いについて。

問題

大学入試でよく出てくるパターン，ここでは対称式の基本定理を証明なしで用いていた。

説明

解答

まずは2乗，3乗を求める。この際に因数分解を覚えておくと早い。(2)は次の誘導である。

各文字を代入して足すと，n乗の値を返す漸化式を作ることができる。

あとは具体的な値を入れれば良い。この手の問題は誘導なしに聞いてくることもあるため，解法に慣れておきたい。

では対称式の基本定理を証明する。ここで対称式に辞書式順序を導入するのがポイント。

大きい対称式を小さい対称式に分解することを繰り返せばいずれ終了することから，定理が証明できる。

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