書記が数学やるだけ#33 4次方程式の解（相反方程式，フェラーリの方法）

4次方程式について，具体例を2つ見ていくことにする。容易に因数分解できるものを除けば，入試に出せるような解ける方程式は型が決まっている。

問題

もはや相反方程式は解けて当然，といった感じか。

(2)は誘導に従うことでそのまま解までたどり着く，これはフェラーリの方法をもとにしている。

解法

x+(1/x)を文字で置くと，2次方程式になる。x=0が解でないことの確認を忘れないように。以前から誘導付きで頻出の問題であったが，とうとう誘導なしで出てきた。

こちらの問題は，素直に誘導に従っていく。

展開して恒等式を満たすようにする。

こうすると，4次方程式が2つの2次方程式に分けられる。

ここまで方程式の解について，2次から4次まで見ていった。解の公式について，2次方程式は古代より知られた事実，3次方程式は主にカルダノ，4次方程式はフェラーリ（他にデカルト，オイラーも方法を示している）により示されてきた。

では5次以上はどうなるかというと，一般的な代数的解法が存在しないことがわかっている（アーベル–ルフィニの定理）。また，「方程式が解ける」とはどういうことかを体系化したガロア理論にまで話は及ぶ。その話はまた後日にする。

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