書記が数学やるだけ#149 関数の連続性，ε-δ論法

ε-δ論法について，関数の連続性を例に扱ってみる。

問題

説明

関数の連続性は「ε-δ論法」により厳密に定義される。

開球の定義。位相空間を考える上でよく出てくる概念である。

解法

連続の定義を確認しながら解いていく。定値写像ならすぐに証明できる。

δの値をどうとるかがポイント。最終的に「< ε」となるように調整している。

ここから難しくなる。単純な2次関数なのだが，そのままではδが定数にならない,

xを追い出さないと不等式が成り立つとは言えなくなる。

そこで三角不等式を用いる。

式変形すると，確かに連続の定義に従っているといえる。

次は分数関数，x≠0で連続であることを示す。ここでもいかにxを追い出すかがポイントとなる。

行列においても連続を考えることができる。

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