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書記が数学やるだけ#235 微分の公式(1)
微分の定義について確認ができたので,公式の証明を行っていく。
問題
説明
基本形についての公式。
高次導関数の微分は,大抵は複雑な形をしているが,いずれも数学的帰納法により証明できる。
解答
今回は,証明のために増分による表示を用いる。
積の増分を求めて,各項の極限をとることで公式を示す。
商の微分を示すためには,逆数の微分が示せればよい。
合成関数の微分は,無限小の扱いに注意。
逆関数の微分は容易に示せる。
積の高次導関数については,帰納法で正しいことを示す。途中,コンビネーションの公式を用いて変形する。
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